II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
37
On a ici
f α (x) =
1
α 2
1
1 +
x 2
α 2
=
1
α 2
+∞
k=0
(−1)
k
x
2
α 2
k
avec rayon de convergence R = α. D’apr` es le § 2.1, on voit donc que p n converge
uniform´ ement vers f α d` es que α > 2
1
2 +
1
e
1, 74. Qu’en est-il si α est petit ?
Calcul de p n (x) – L’erreur d’interpolation est donn´ ee ici par
f α (x) − p n (x) =
1
x 2 + α 2 − p n (x) =
1 − (x
2 + α
2 )p n (x)
x 2 + α 2
.
Le polynˆ ome 1 − (x
2 + α
2 )p n (x) est de degr´ e ≤ n + 2, nul aux points x 0 , . . . , x n
(puisque p n interpole f ) et ´ egal ` a 1 aux points ±iα. En particulier 1−(x
2 +α
2 )p n (x)
est divisible par π n+1 (x) =
(x − x j ), le quotient ´ etant de degr´ e 0 ou 1. Examinons
la parit´ e de ce quotient.
Comme les points x j sont r´ epartis sym´ etriquement par rapport `
a 0, le polynˆ ome p n
est toujours pair, tandis que π n+1 est pair si n est impair et vice-versa. Le quotient
est un binˆ ome c 0 + c 1 x, pair si n est impair, impair si n est pair. Par cons´ equent
1 − (x
2 + α
2 )p n (x) =
c 0 · π n+1 (x) si n est impair,
c 1 x · π n+1 (x) si n est pair.
En substituant x = iα, on trouve c 0 = 1/π n+1 (iα) et c 1 = 1/iαπ n+1 (iα), d’o` u
f α (x) − p n (x) =
1
x 2 + α 2
π n+1 (x)
π n+1 (iα)
si n est impair,
x
iα(x 2 + α 2 )
π n+1 (x)
π n+1 (iα)
si n est pair.
On va maintenant ´ etudier tr` es pr´ ecis´ ement la convergence ponctuelle de p n (x), en
utilisant les estimations du § 2.2.
´
Etude de la convergence ponctuelle de la suite p n (x)
Si x = ±1, p n (x) = p n (±1) = f α (±1) =
1
1+α 2 est une suite constante. On suppose
donc dans la suite que x est un point fix´ e dans ] − 1, 1[ et on cherche ` a obtenir une
estimation de |π n+1 (x)/π n+1 (iα). Pour x = iα, la formule (∗∗) du § 2.2 montre
qu’il existe des constantes C 3 , C 4 > 0 telles que
C 3 A(iα)
n
≤ |π n+1 (iα)| ≤ C 4 A(iα)
n
car α ≤ |iα − x j | ≤
√
α 2 + 4 pour tout j ∈ {−1, . . . , n + 1}. De mˆ eme pour
z = x ∈ ] − 1, 1[, les quantit´ es |z − x i−1 | et |z − x i+1 | sont du mˆ eme ordre de
grandeur que h =
2
n , tandis que |z − x −1 | et |z − x n+1 | tendent respectivement vers
1 + x et 1 − x. On a donc des constantes positives C 5 , C 6 , . . . telles que
C 5 nδ n (x)A(x)
n
≤ |π n+1 (x)| ≤ C 6 nδ n (x)A(x)
n ,
C 7 nδ n (x)
A(x)
A(iα)
n
≤ |f α (x) − p n (x)| ≤ C 8 nδ n (x)
A(x)
A(iα)
n
.
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On a ici
f α (x) =
1
α 2
1
1 +
x 2
α 2
=
1
α 2
+∞
k=0
(−1)
k
x
2
α 2
k
avec rayon de convergence R = α. D’apr` es le § 2.1, on voit donc que p n converge
uniform´ ement vers f α d` es que α > 2
1
2 +
1
e
1, 74. Qu’en est-il si α est petit ?
Calcul de p n (x) – L’erreur d’interpolation est donn´ ee ici par
f α (x) − p n (x) =
1
x 2 + α 2 − p n (x) =
1 − (x
2 + α
2 )p n (x)
x 2 + α 2
.
Le polynˆ ome 1 − (x
2 + α
2 )p n (x) est de degr´ e ≤ n + 2, nul aux points x 0 , . . . , x n
(puisque p n interpole f ) et ´ egal ` a 1 aux points ±iα. En particulier 1−(x
2 +α
2 )p n (x)
est divisible par π n+1 (x) =
(x − x j ), le quotient ´ etant de degr´ e 0 ou 1. Examinons
la parit´ e de ce quotient.
Comme les points x j sont r´ epartis sym´ etriquement par rapport `
a 0, le polynˆ ome p n
est toujours pair, tandis que π n+1 est pair si n est impair et vice-versa. Le quotient
est un binˆ ome c 0 + c 1 x, pair si n est impair, impair si n est pair. Par cons´ equent
1 − (x
2 + α
2 )p n (x) =
c 0 · π n+1 (x) si n est impair,
c 1 x · π n+1 (x) si n est pair.
En substituant x = iα, on trouve c 0 = 1/π n+1 (iα) et c 1 = 1/iαπ n+1 (iα), d’o` u
f α (x) − p n (x) =
1
x 2 + α 2
π n+1 (x)
π n+1 (iα)
si n est impair,
x
iα(x 2 + α 2 )
π n+1 (x)
π n+1 (iα)
si n est pair.
On va maintenant ´ etudier tr` es pr´ ecis´ ement la convergence ponctuelle de p n (x), en
utilisant les estimations du § 2.2.
´
Etude de la convergence ponctuelle de la suite p n (x)
Si x = ±1, p n (x) = p n (±1) = f α (±1) =
1
1+α 2 est une suite constante. On suppose
donc dans la suite que x est un point fix´ e dans ] − 1, 1[ et on cherche ` a obtenir une
estimation de |π n+1 (x)/π n+1 (iα). Pour x = iα, la formule (∗∗) du § 2.2 montre
qu’il existe des constantes C 3 , C 4 > 0 telles que
C 3 A(iα)
n
≤ |π n+1 (iα)| ≤ C 4 A(iα)
n
car α ≤ |iα − x j | ≤
√
α 2 + 4 pour tout j ∈ {−1, . . . , n + 1}. De mˆ eme pour
z = x ∈ ] − 1, 1[, les quantit´ es |z − x i−1 | et |z − x i+1 | sont du mˆ eme ordre de
grandeur que h =
2
n , tandis que |z − x −1 | et |z − x n+1 | tendent respectivement vers
1 + x et 1 − x. On a donc des constantes positives C 5 , C 6 , . . . telles que
C 5 nδ n (x)A(x)
n
≤ |π n+1 (x)| ≤ C 6 nδ n (x)A(x)
n ,
C 7 nδ n (x)
A(x)
A(iα)
n
≤ |f α (x) − p n (x)| ≤ C 8 nδ n (x)
A(x)
A(iα)
n
.