36
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Une ´ etude de x → A(x) donne l’allure du graphe :
a
b
a+b
2
x
0
y
A(x)
1
e (b − a)
1
2e (b − a)
La fonction A atteint donc son maximum A =
1
e (b − a) en x = a ou b et son
minimum
1
2e (b − a) en x =
a+b
2 . D’un point de vue pratique, il va en r´ esulter
que la convergence de p n (x) est en g´ en´ eral beaucoup moins bonne au voisinage des
extr´ emit´ es a, b qu’au centre de l’intervalle.
¾º¿º¶ ÈÈ ÒÓÑ ÒÒ ÊÙÒÒÒ
L’objet de ce paragraphe est de donner un exemple concret de fonction analytique
f pour laquelle les polynˆ omes d’interpolation ne forment pas une suite convergente.
Nous consid´ erons pour cela la fonction
f α (x) =
1
x 2 + α 2 , x ∈ [−1, 1],
o` u α > 0 est un param` etre.
y
1/α
2
f α
−1
0
1
x
p n (n = 14)
Soit p n le polynˆ ome d’interpolation de f aux points x j = −1 + j
1
n , 0 ≤ j ≤ n.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Une ´ etude de x → A(x) donne l’allure du graphe :
a
b
a+b
2
x
0
y
A(x)
1
e (b − a)
1
2e (b − a)
La fonction A atteint donc son maximum A =
1
e (b − a) en x = a ou b et son
minimum
1
2e (b − a) en x =
a+b
2 . D’un point de vue pratique, il va en r´ esulter
que la convergence de p n (x) est en g´ en´ eral beaucoup moins bonne au voisinage des
extr´ emit´ es a, b qu’au centre de l’intervalle.
¾º¿º¶ ÈÈ ÒÓÑ ÒÒ ÊÙÒÒÒ
L’objet de ce paragraphe est de donner un exemple concret de fonction analytique
f pour laquelle les polynˆ omes d’interpolation ne forment pas une suite convergente.
Nous consid´ erons pour cela la fonction
f α (x) =
1
x 2 + α 2 , x ∈ [−1, 1],
o` u α > 0 est un param` etre.
y
1/α
2
f α
−1
0
1
x
p n (n = 14)
Soit p n le polynˆ ome d’interpolation de f aux points x j = −1 + j
1
n , 0 ≤ j ≤ n.