II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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Dans les deux sommations, les logarithmes se simplifient alors mutuellement, ce qui
donne
j =i
ln |z − x j | −
1
h
b
a
ln |z − x|dx =
1
2
ln
z − x −1
z − x i−1
·
z − x n+1
z − x i+1
+ O(1)
avec x −1 = a − h et x n+1 = b + h. En prenant l’exponentielle et en multipliant par
|z − x i |, on obtient
|z−x j | = |z−x i | exp
O(1)+
1
h
b
a
ln |z−x|dx
·
|z − x 1 |
|z − x i−1 |
·
|z − x n+1 |
|z − x i+1 |
. (∗∗)
La quantit´ e sous la racine est comprise entre 1 et (1 + 2n)
2 . En effet on a
1 ≤
|z − x −1 |
|z − x i−1 |
≤
|z − x i−1 | + ih
|z − x i−1 |
≤ 1 + 2i,
car |z −x i−1 | ≥ Re(z −x i−1 ) ≥
h
2 si i = 0, le premier quotient ´ etant ´ egal ` a 1 si i = 0.
Le deuxi` eme quotient est major´ e de mˆ eme par 1 + 2(n − i). Comme exp(O(1)) est
encadr´ e par deux constantes positives et
1
h =
n
b−a , on obtient l’estimation suivante.
Estimation de π n+1 – On pose A(z) = exp
1
b − a
b
a
ln |z − x|dx
.
Alors il existe des constantes C 1 , C 2 > 0 telles que
C 1 δ n (z)A(z)
n
≤ |π n+1 (z)| ≤ C 2 nδ n (z)A(z)
n .
On voit donc que le terme dominant du comportement de |π n+1 (z)| est le facteur
exponentiel A(z)
n . Pour ´ evaluer π n+1 [a,b] , il suffit de calculer A(x) lorsque
x ∈ [a, b] :
A(x) = exp
1
b − a
b
a
ln |x − t|dt
.
La fonction t → ln |t − x| est discontinue en t = x, mais le lecteur pourra s’assurer
que l’int´ egration par parties suivante est l´ egitime :
b
a
ln |t − x|dt = [(t − x) ln |t − x|]
b
a −
b
a
(t − x)
dt
t − x
= (b − x) ln (b − x) + (x − a) ln (x − a) − (b − a),
car la fonction t → (t − x) ln |t − x| est continue sur [a, b] et on peut passer `
a la
limite sur chacun des intervalles [a, x − ε] et [x + ε, b]. Il en r´ esulte

 
 
A(x) =
1
e
(x − a)
x−a
b−a (b − x)
b−x
b−a
si x ∈ ]a, b[,
A(a) = A(b) =
1
e
(b − a).