II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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Lemme 1 – Pour tout a ∈ C, on pose φ(a) =
1
0
ln |1 − at| dt.
Alors l’int´ egrale converge et la fonction φ est continue sur C. De plus :
(i)
1
h
xj+1
xj
ln |z − x|dx − ln |z − x j | = φ
h
z − x j
, 0 ≤ j ≤ i − 1 ;
(ii)
1
h
xj+1
xj
ln |z − x|dx − ln |z − x j+1 | = φ
−
h
z − x j+1
, i ≤ j ≤ n − 1.
D´ emonstration. Si a ∈ [1, +∞], la fonction t → ln |1 − at| est d´ efinie et continue
sur [0, 1]. Soit Log la d´ etermination principale du logarithme complexe, d´ efinie sur
C C ] − ∞, 0]. Comme ln |z| = Re(Log z), on en d´ eduit ais´ ement
φ(0) = 0, φ(a) = Re
1 −
1
a
Log (1 − a)
− 1 si a ∈ {0} ∪ [1, +∞[
grˆ ace ` a une int´ egration par parties. Si a ∈ [1, +∞[, un calcul analogue donne
φ(1) = −1 et φ(a) =
1 −
1
a
ln (a − 1) − 1 pour a > 1. La continuit´ e de φ se v´ erifie
sur ces formules (exercice !)
´
Egalit´ e (i) : on effectue le changement de variable
x = x j + ht, dx = h dt, t ∈ [0, 1].
Il vient :
1
h
xj+1
xj
ln |z − x| dx =
1
0
ln |z − x j − ht| dt
=
1
0
ln
|z − x j | ·
1 −
h
z − x j
t
dt = ln |z − x j | + φ
h
z − x j
.
´
Egalit´ e (ii) : s’obtient de mˆ eme en posant x = x j+1 − ht.
En sommant les diff´ erentes ´ egalit´ es (i) et (ii), on obtient
1
h
b
a
ln |z − x|dx −
j =i
ln |z − x j | =
i−1
j=0
φ
h
z − x j
+
n
j=i+1
φ
−
h
z − x j
. (∗)
z
x 0
x 1
x j
x i−1 x i
x i+1
x n