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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
L’erreur d’interpolation admet donc la majoration
f − p n ≤
1
(n + 1)!
π n+1 f
(n+1)
≤ 2
b − a
λ
n+1
rC(r)
r −
b−a
2
n+2
≤
2rC(r)
r −
b−a
2
b−a
λ
r −
b−a
2
n+1
avec respectivement λ = 1 si les points x i,n sont quelconques, λ = e s’ils sont
´ equidistants, λ = 4 si ce sont les points de Tchebychev. L’erreur va converger vers
0 si l’on peut choisir r tel que (b − a)/λ < r − (b − a)/2, soit r >
1
λ +
1
2
(b − a). Ceci
est possible d` es que le rayon de convergence R v´ erifie lui-mˆ eme cette minoration.
On peut donc ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Soit f : [a, b] → R une fonction analytique donn´ ee par une s´ erie
enti` ere de rayon de convergence R centr´ ee au point c =
a+b
2 . Alors pour des points
d’interpolation x i,n quelconques et λ = 1 (respectivement, ´ equidistants et λ = e, de
Tchebychev et λ = 4), les polynˆ omes d’interpolation p n aux points x i,n convergent
uniform´ ement vers f pourvu que R >
1
λ +
1
2
(b − a).
Exercice – Si les points x i,n sont r´ epartis syst´ ematiquement par rapport `
a
c =
a+b
2 , montrer que l’on peut prendre λ = 2.
Indication : en supposant c = 0 pour simplifier, utiliser le fait que
|(x − x i,n )(x + x i,n )| ≤
1
4
(b − a)
2
pour tout x ∈ [a, b] et tout i = 0, 1, . . . , n.
Ces r´ esultats sont en fait un peu grossiers, car ils fournissent des conditions
suffisantes de convergence qui sont en g´ en´ eral tr` es loin d’ˆ etre n´ ecessaires. Par
ailleurs, ce sont des r´ esultats purement th´ eoriques qui ne tiennent aucun compte
des erreurs d’arrondi. Nous allons maintenant faire des calculs plus fins sur des
exemples, en estimant de fa¸ con pr´ ecise le produit π n+1 pour des points ´ equidistants.
¾º¾º¶ ×ØØÑÑØØÓÒ π n (z)¸ z ∈ C¸ ÔÓÙÖ × ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ
ÕÙÙÙÙ×ØÒØ×
Posons h =
b−a
n , x j = a j + jh, 0 ≤ j ≤ n, et soit z ∈ C,
|π n+1 (z)| = |z − x i | ·
j =1
|z − x j |,
ln |π n+1 (z)| = ln δ n (z) +
j =i
ln |z − x j |
o` u δ n (z) = |z − x i | est la distance de z au plus proche point x i . La derni` ere
sommation apparaˆ ıt comme une somme de Riemann de la fonction x → ln |z − x|.
On va donc comparer cette sommation ` a l’int´ egrale correspondante.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
L’erreur d’interpolation admet donc la majoration
f − p n ≤
1
(n + 1)!
π n+1 f
(n+1)
≤ 2
b − a
λ
n+1
rC(r)
r −
b−a
2
n+2
≤
2rC(r)
r −
b−a
2
b−a
λ
r −
b−a
2
n+1
avec respectivement λ = 1 si les points x i,n sont quelconques, λ = e s’ils sont
´ equidistants, λ = 4 si ce sont les points de Tchebychev. L’erreur va converger vers
0 si l’on peut choisir r tel que (b − a)/λ < r − (b − a)/2, soit r >
1
λ +
1
2
(b − a). Ceci
est possible d` es que le rayon de convergence R v´ erifie lui-mˆ eme cette minoration.
On peut donc ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Soit f : [a, b] → R une fonction analytique donn´ ee par une s´ erie
enti` ere de rayon de convergence R centr´ ee au point c =
a+b
2 . Alors pour des points
d’interpolation x i,n quelconques et λ = 1 (respectivement, ´ equidistants et λ = e, de
Tchebychev et λ = 4), les polynˆ omes d’interpolation p n aux points x i,n convergent
uniform´ ement vers f pourvu que R >
1
λ +
1
2
(b − a).
Exercice – Si les points x i,n sont r´ epartis syst´ ematiquement par rapport `
a
c =
a+b
2 , montrer que l’on peut prendre λ = 2.
Indication : en supposant c = 0 pour simplifier, utiliser le fait que
|(x − x i,n )(x + x i,n )| ≤
1
4
(b − a)
2
pour tout x ∈ [a, b] et tout i = 0, 1, . . . , n.
Ces r´ esultats sont en fait un peu grossiers, car ils fournissent des conditions
suffisantes de convergence qui sont en g´ en´ eral tr` es loin d’ˆ etre n´ ecessaires. Par
ailleurs, ce sont des r´ esultats purement th´ eoriques qui ne tiennent aucun compte
des erreurs d’arrondi. Nous allons maintenant faire des calculs plus fins sur des
exemples, en estimant de fa¸ con pr´ ecise le produit π n+1 pour des points ´ equidistants.
¾º¾º¶ ×ØØÑÑØØÓÒ π n (z)¸ z ∈ C¸ ÔÓÙÖ × ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ
ÕÙÙÙÙ×ØÒØ×
Posons h =
b−a
n , x j = a j + jh, 0 ≤ j ≤ n, et soit z ∈ C,
|π n+1 (z)| = |z − x i | ·
j =1
|z − x j |,
ln |π n+1 (z)| = ln δ n (z) +
j =i
ln |z − x j |
o` u δ n (z) = |z − x i | est la distance de z au plus proche point x i . La derni` ere
sommation apparaˆ ıt comme une somme de Riemann de la fonction x → ln |z − x|.
On va donc comparer cette sommation ` a l’int´ egrale correspondante.