II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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en majorant |x − x i,n | par b − a. Dans le cas o` u les points x i sont ´ equidistants ou
sont les points de Tchebychev, on a bien entendu une meilleure estimation
π n+1 ≤
b − a
e
n+1
, resp. π n+1 ≤ 2
b − a
4
n+1
.
Comme l’erreur d’interpolation d´ epend par ailleurs de f
(n+1)
d’apr` es le § 1.2, on
est amen´ e ` a chercher une majoration des d´ eriv´ ees successives de f .
¾º½º × ³ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ
Une fonction analytique est par d´ efinition une fonction qui est somme d’une s´ erie
enti` ere au voisinage de tout point o` u elle est d´ efinie.
Supposons f (x) =
+∞
k=0 a k x
k , o` u la s´ erie a un rayon de convergence R > 0. La
fonction f est donc d´ efinie sur ] − R, R[ au moins. Pour tout r < R, la s´ erie
a k r
k
est convergente, donc la suite a k r
k est born´ ee (et tend vers 0), c’est-` a-dire qu’il
existe une constante C(r) ≥ 0 telle que
|a k | ≤
C(r)
r k , ∀k ∈ N.
On peut alors d´ eriver terme ` a terme f (x) sur ] − r, r[ ⊂ ] − R, R[, ce qui donne
f
(n) (x) =
+∞
k=0
a k
d
n
dx n (x
k ),
|f
(n) (x)| ≤ C(r)
+∞
k=0
1
r k
d
n
dx n (x
k ) si x ≥ 0
= C(r)
d
n
dx n
+∞
k=0
x
r
k
= C(r)
d
n
dx n
1
1 −
x
r
= C(r)
d
n
dx n
r
r − x
=
n!rC(r)
(r − x) n+1 .
Sur tout intervalle [−α, α] avec α < r < R, on a donc
1
n!
f
(n)
[−α,α] ≤
rC(r)
(r − α) n+1 .
Supposons maintenant que f : [a, b] → R soit somme d’une s´ erie enti` ere de centre
c =
a+b
2 et de rayon R > α =
b−a
2 . Pour tout r tel que
b−a
2 < r < R et tout n ∈ N
on a alors d’apr` es ce qui pr´ ec` ede
1
n!
f
(n)
[a,b] ≤
rC(r)
r −
b−a
2
n+1 .