30
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
qui envoie −1 sur a et 1 sur b. Les images des points d’interpolation de Tchebychev
u i ∈ ] − 1, 1[ sont donn´ es par
x i =
a + b
2
+
b − a
2
cos
2i + 1
2n + 2
π, 0 ≤ i ≤ n.
Ces points sont encore appel´ es points d’interpolation de Tchebychev d’ordre n de
l’intervalle [a, b]. Dans ce cas, on a x − x i =
b−a
2 (u − u i ), donc le polynˆ ome π n+1
est donn´ e par
π n+1 (x) =
n
i=0
(x − x i ) =
b − a
2
n+1 n
i=0
(u − u i )
o` u
n
i=0 (u − u i ) =
1
2 n t n+1 (u) est le polynˆ ome π n+1 (u) correspondant `
a [−1, 1]. On
obtient donc
π n+1 (x) =
(b − a)
n+1
2 2n+1
t n+1 (u) =
(b − a)
n+1
2 2n+1
t n+1
2
b − a
x −
a + b
2
.
Par d´ efinition des polynˆ omes de Tchebychev on a t n+1 = 1, donc
π n+1 = 2
b − a
4
n+1
.
Cette valeur est beaucoup plus petite que l’estimation (b − a/e)
n+1 obtenue pour
π n+1 avec des points x i ´ equidistants, surtout lorsque n est assez grand : pour
n = 30 par exemple, on a (e/4)
n+1 < 7 · 10
−6 .
Il en r´ esulte que l’interpolation aux points de Tchebychev est en g´ en´ eral consid´ erablement plus pr´ ecise que l’interpolation en des points ´ equidistants, d’o` u son
int´ erˆ et pratique. Nous reviendrons sur ces questions au § 3.
¾º ÓÒÚÚÖÒÒÒ × ÔÓÐÝÒ ÓÑÑ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ p n ÕÙÙÒÒ
n ØØÒÒ ÚÚÖ× +∞
Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Pour chaque entier n ∈ N, on se donne une
suite de n + 1 points x i,n ∈ [a, b], 0 ≤ i ≤ n, deux `
a deux distincts et on consid` ere
le polynˆ ome d’interpolation p n de f aux points x 0,n , x 1,n , . . . , x n,n .
Probl` eme – A quelle(s) condition(s) (portant sur la nature de la fonction f
et/ou le choix des points x i,n ) pourra-t-on ˆ etre sˆ ur que p n converge uniform´ ement
vers f quand n → +∞ ?
Si l’on ne dispose d’aucune information sur la r´ epartition des points x i,n , la meilleure
majoration de π n+1 (x) dont on dispose a priori est
|π n+1 (x)| =
n
i=0
|x − x i,n | ≤ (b − a)
n+1 , ∀x ∈ [a, b],
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
qui envoie −1 sur a et 1 sur b. Les images des points d’interpolation de Tchebychev
u i ∈ ] − 1, 1[ sont donn´ es par
x i =
a + b
2
+
b − a
2
cos
2i + 1
2n + 2
π, 0 ≤ i ≤ n.
Ces points sont encore appel´ es points d’interpolation de Tchebychev d’ordre n de
l’intervalle [a, b]. Dans ce cas, on a x − x i =
b−a
2 (u − u i ), donc le polynˆ ome π n+1
est donn´ e par
π n+1 (x) =
n
i=0
(x − x i ) =
b − a
2
n+1 n
i=0
(u − u i )
o` u
n
i=0 (u − u i ) =
1
2 n t n+1 (u) est le polynˆ ome π n+1 (u) correspondant `
a [−1, 1]. On
obtient donc
π n+1 (x) =
(b − a)
n+1
2 2n+1
t n+1 (u) =
(b − a)
n+1
2 2n+1
t n+1
2
b − a
x −
a + b
2
.
Par d´ efinition des polynˆ omes de Tchebychev on a t n+1 = 1, donc
π n+1 = 2
b − a
4
n+1
.
Cette valeur est beaucoup plus petite que l’estimation (b − a/e)
n+1 obtenue pour
π n+1 avec des points x i ´ equidistants, surtout lorsque n est assez grand : pour
n = 30 par exemple, on a (e/4)
n+1 < 7 · 10
−6 .
Il en r´ esulte que l’interpolation aux points de Tchebychev est en g´ en´ eral consid´ erablement plus pr´ ecise que l’interpolation en des points ´ equidistants, d’o` u son
int´ erˆ et pratique. Nous reviendrons sur ces questions au § 3.
¾º ÓÒÚÚÖÒÒÒ × ÔÓÐÝÒ ÓÑÑ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ p n ÕÙÙÒÒ
n ØØÒÒ ÚÚÖ× +∞
Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Pour chaque entier n ∈ N, on se donne une
suite de n + 1 points x i,n ∈ [a, b], 0 ≤ i ≤ n, deux `
a deux distincts et on consid` ere
le polynˆ ome d’interpolation p n de f aux points x 0,n , x 1,n , . . . , x n,n .
Probl` eme – A quelle(s) condition(s) (portant sur la nature de la fonction f
et/ou le choix des points x i,n ) pourra-t-on ˆ etre sˆ ur que p n converge uniform´ ement
vers f quand n → +∞ ?
Si l’on ne dispose d’aucune information sur la r´ epartition des points x i,n , la meilleure
majoration de π n+1 (x) dont on dispose a priori est
|π n+1 (x)| =
n
i=0
|x − x i,n | ≤ (b − a)
n+1 , ∀x ∈ [a, b],