II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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½ººº ÁÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ÌÌÌÌÌÝÝÝÝÚ
On d´ efinit les polynˆ omes de Tchebychev par
t n (x) = cos(n Arccos x), x ∈ [−1, 1]
Il n’est pas ´ evident a priori que t n est un polynˆ ome ! Pour le voir, on proc` ede
comme suit. Posons θ = Arc cos x, c’est-` a-dire x = cos θ avec θ ∈ [0, π]. Il vient
alors
t n (x) = cos nθ,
t n+1 (x) + t n−1 (x) = cos ((n + 1)θ) + cos ((n − 1)θ)
= 2 cos nθ cos θ = 2xt n (x).
La fonction t n se calcule donc par les formules de r´ ecurrence
t 0 (x) = 1, t 1 (x) = x
t n+1 (x) = 2x t n (x) − t n−1 (x).
Il en r´ esulte que t n est un polynˆ ome de degr´ e n, dont le coefficient directeur est
2
n−1 si n ≥ 1. D´ eterminons les racines de t n . Si x = cos θ ∈ [−1, 1] avec θ ∈ [0, π],
on a t n (x) = cos nθ = 0 si et seulement si nθ =
π
2 + iπ, soit θ =
2i+1
2n π avec
0 ≤ i ≤ n − 1. Le polynˆ ome t n admet donc exactement n racines distinctes :
cos
2i + 1
2n
π ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ i ≤ n − 1.
Comme t n est de degr´ e n, il ne peut avoir d’autres racines.
D´ efinition – Les points d’interpolation de Tchebychev d’ordre n sont les points
x i = cos
2i+1
2n+2 π, 0 ≤ i ≤ n, racines du polynˆ ome t n+1 .
Les points x i sont r´ epartis sym´ etriquement autour de 0 (avec x n−i = −x i ), de fa¸ con
plus dense au voisinage de 1 et −1 :
−1
x 10
x 8
x 6
x 5
x 3
x 1
1
x 11 x 9
x 7
x 4
x 2 x 0
n = 11
0
Puisque le coefficient directeur de t n+1 est 2
n , il vient
t n+1 (x) = 2
n
n
i=0
(x − x i ) = 2
n π n+1 (x).
Pour se ramener ` a un intervalle [a, b] quelconque au lieu de [−1, 1], on utilisera la
bijection lin´ eaire
[−1, 1] −→ [a, b]
u −→ x =
a + b
2
+
b − a
2
u