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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Courbes int´ egrales d’une ´ equation d
− →
M
dt
=
− →
V (M ) associ´ ee ` a un champ de
vecteurs
− →
V (x, y) = (f (x, y), g(x, y)) dans le plan.
On dit que M 0 = (x 0 , y 0 ) est un point singulier si
− →
V (M 0 ) =
− →
0 , r´ egulier sinon. Pour
qu’un point singulier soit asymptotiquement stable, il suffit que la matrice
A =
f
x (x 0 , y 0 ) f
y (x 0 , y 0 )
g
x (x 0 , y 0 ) g
y (x 0 , y 0 )
ait ses valeurs propres de partie r´ eelle < 0. On dit qu’un point singulier est non
d´ eg´ en´ er´ e si det A = 0; si λ 1 et λ 2 sont les valeurs propres de A, on a alors les
diff´ erentes configurations possibles suivantes :
∗ λ 1 , λ 2 r´ eelles, distinctes, de mˆ eme signe : nœud impropre,
de signe oppos´ e : col.
∗ λ 1 = λ 2 r´ eelles et A diagonalisable : nœud propre (si champ lin´ eaire),
et A non diagonalisable : nœud exceptionnel.
∗ λ 1 , λ 2 non r´ eelles de partie r´ eelle non nulle : foyer,
de partie r´ eelle nulle : centre (si champ lin´ eaire).
Chapitre XI : ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant
d’un param` etre
D´ ependance de la solution. ´
Etant donn´ e une ´ equation
(E λ )
y
= f (t, y, λ), y ∈ R
m ,
o` u f d´ epend d’un param` etre λ ∈ R et est continue en (t, y, λ), la solution y(t, y 0 , λ)
de (E λ ) de valeur initiale y 0 en t = t 0 est :
∗ continue si f est localement lispchitzienne en y
∗ de classe C
1 si f admet des d´ eriv´ ees partielles f
yj et f
λ continues en (t, y, λ).
∗ de classe C
k+1 si f est de classe C
k et admet des d´ eriv´ ees partielles f
yj , f
λ de
classe C
k en (t, y, λ).
Dans ces deux derniers cas, la d´ eriv´ ee partielle v(t) =
∂
∂λ y(t, y 0 , λ 0 ) est la solution
de l’´ equation diff´ erentielle lin´ earis´ ee
(E
λ0 )
v
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u(t), λ 0 )v j (t) + f
λ (t, u(t), λ 0 )
avec condition initiale v(t 0 ) = 0 et avec u(t) = y(t, y 0 , λ 0 ).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Courbes int´ egrales d’une ´ equation d
− →
M
dt
=
− →
V (M ) associ´ ee ` a un champ de
vecteurs
− →
V (x, y) = (f (x, y), g(x, y)) dans le plan.
On dit que M 0 = (x 0 , y 0 ) est un point singulier si
− →
V (M 0 ) =
− →
0 , r´ egulier sinon. Pour
qu’un point singulier soit asymptotiquement stable, il suffit que la matrice
A =
f
x (x 0 , y 0 ) f
y (x 0 , y 0 )
g
x (x 0 , y 0 ) g
y (x 0 , y 0 )
ait ses valeurs propres de partie r´ eelle < 0. On dit qu’un point singulier est non
d´ eg´ en´ er´ e si det A = 0; si λ 1 et λ 2 sont les valeurs propres de A, on a alors les
diff´ erentes configurations possibles suivantes :
∗ λ 1 , λ 2 r´ eelles, distinctes, de mˆ eme signe : nœud impropre,
de signe oppos´ e : col.
∗ λ 1 = λ 2 r´ eelles et A diagonalisable : nœud propre (si champ lin´ eaire),
et A non diagonalisable : nœud exceptionnel.
∗ λ 1 , λ 2 non r´ eelles de partie r´ eelle non nulle : foyer,
de partie r´ eelle nulle : centre (si champ lin´ eaire).
Chapitre XI : ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant
d’un param` etre
D´ ependance de la solution. ´
Etant donn´ e une ´ equation
(E λ )
y
= f (t, y, λ), y ∈ R
m ,
o` u f d´ epend d’un param` etre λ ∈ R et est continue en (t, y, λ), la solution y(t, y 0 , λ)
de (E λ ) de valeur initiale y 0 en t = t 0 est :
∗ continue si f est localement lispchitzienne en y
∗ de classe C
1 si f admet des d´ eriv´ ees partielles f
yj et f
λ continues en (t, y, λ).
∗ de classe C
k+1 si f est de classe C
k et admet des d´ eriv´ ees partielles f
yj , f
λ de
classe C
k en (t, y, λ).
Dans ces deux derniers cas, la d´ eriv´ ee partielle v(t) =
∂
∂λ y(t, y 0 , λ 0 ) est la solution
de l’´ equation diff´ erentielle lin´ earis´ ee
(E
λ0 )
v
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u(t), λ 0 )v j (t) + f
λ (t, u(t), λ 0 )
avec condition initiale v(t 0 ) = 0 et avec u(t) = y(t, y 0 , λ 0 ).