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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(1 − α 0 X − . . . − α r X
r+1 )
−1 =
γ n X
n et si Γ = sup |γ n | < +∞, la constante de
stabilit´ e vaut
S = Γ exp (ΓkT
|β i |).
M´ ethode de Nystr¨ om (ordre 2) : y n+1 = y n−1 + 2hf n .
M´ ethode de Milne (ordre 4) : y n+1 = y n−3 + h
8
3 f n −
4
3 f n−1 +
8
3 f n−2
.
∗ M´ ethodes d’Adams-Bashforth AB r+1 :
y n+1 = y n +
tn+1
tn
p n,r (t)dt = y n + h n
0≤i≤r
b n,i,r f n−i ,
avec
p n,r (t) =
0≤i≤r
f n−i L n,i,r (t), L n,i,r (t) =
j =i
0≤j≤r
t − t n−j
t n−i − t n−j
,
b n,i,r =
1
h n
tn+1
tn
L n,i,r (t)dt.
Erreur de consistance : |e n | ≤ |z
(r+2) (ξ)|h n h
r+1
max
avec ξ ∈ ]t n−r , t n+1 [.
Constante de stabilit´ e : S = exp (β r kT ) avec β r = max
n
i
|b n,i,r |.
∗ M´ ethodes d’Adams-Moulton AM r+1 :
y n+1 = y n +
tn+1
tn
p
∗
n,r (t)dt = y n + h n
−1≤i≤r
b
∗
n,i,r f n−i
o` u p
∗
n,r interpole les points (t n+1 , f n+1 ) . . . (t n−r , f n−r ).
Erreur de consistance : |e
∗
n | ≤ |z
(r+3) (ξ)|h n h
r+2
max (1 + O(h n )), ξ ∈ ]t n−r , t n+1 [.
Constante de stabilit´ e : S = exp
β
∗
r kT
1−γ ∗
r khmax
, avec
β
∗
r = max
n
−1≤i≤r
|b
∗
n,i,r |,
γ
∗
r = max
n
|b
∗
n,−1,r |.
Si le pas h n = h est constant, les coefficients sont donn´ es par :
r
b 0,r b 1,r b 2,r b 3,r
b
∗
−1,r
b
∗
0,r
b
∗
1,r
b
∗
2,r
b
∗
3,r
0
1
1
2
1
2
1
3
2
−
1
2
5
12
8
12
−
1
12
2
23
12
−
16
12
5
12
9
24
19
24
−
5
24
1
24
3
55
24
−
59
24
37
24
−
9
24
251
720
646
720
−
264
720
106
720
−
19
720