Formulaire et principaux r´ esultats
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∗ Exemples :
Ordre 2 :
0
0
0
α
α
0
1 −
1
2α
1
2α
α =
1
2 : point milieu
α = 1 : m´ ethode de Heun
Ordre 4 :
0
0 0 0 0
1
2
1
2
0 0 0
1
2
0
1
2
0 0
1
0 0 1 0
1
6
2
6
2
6
1
6
Chapitre IX : M´ ethodes ` a pas multiples
Pour une m´ ethode ` a r + 1 pas de la forme
y n+1 = Ψ(t n , y n , h n ; . . . ; t n−r , y n−r , h n−r ), r ≤ n < N,
l’erreur de consistance relative `
a une solution exacte z est
e n = z(t n+1 ) − y n+1 ,
avec y n−i = z(t n−i ),
0 ≤ i ≤ r.
La m´ ethode est stable avec constante S si pour toute suite ( y n ) telle que
y n+1 = Ψ(t n ,
y n , h n ; . . . ; t n−r ,
y n−r , h n−r ) + ε n
alors θ N ≤ S

 θ r +
r≤n |ε n |

 o` u θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |.
∗ La m´ ethode ` a pas constant h n = h :
y n+1 =
0≤i≤r
α i y n−i + h
0≤i≤r
β i f n−i , f n = f (t n , y n )
est d’ordre ≥ p si et seulement si
0≤i≤r
i
l α i − li
l−1 β i = (−1)
l , 0 ≤ l ≤ p.
Elle est stable si et seulement si l’´ equation λ
r+1
− α 0 λ
r
− . . . − α r = 0 a toutes
ses racines de module ≤ 1, celles de module 1 ´ etant simples. Dans ce cas, si