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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Si Φ(t, y, h) est Λ-lipschitzienne en y, la m´ ethode est stable avec constante de
stabilit´ e S = exp (ΛT ), T = t N − t 0 .
M´ ethode du point milieu :
du point milieu modifi´ ee :

         
         
y n+
1
2
= y n +
h n
2
f (t n , y n )
p n = f
t n +
h n
2
, y n+
1
2
y n+1 = y n + h n p n
t n+1 = t n + h n

         
         
y n+
1
2
= y n +
h n
2
p n−1
p n = f
t n +
h n
2
, y n+
1
2
y n+1 = y n + h n p n
t n+1 = t n + h n
Ces m´ ethodes sont d’ordre 2 (celle du point milieu est `
a 1 pas, mais la m´ ethode
modifi´ ee est une m´ ethode ` a 2 pas).
M´ ethodes de Runge-Kutta :
c 1
0
0 . . .
0
0
c 2
a 21 0 . . .
0
0
. . .
. . .
c q
a q1 a q2 . . . a qq−1 0
b 1
b 2 . . . b q−1 b q

           
           





t n,i = t n + c i h n
y n,i = y n + h n
1≤j a ij p n,j
p n,i = f (t n,i , y n,i )





1 ≤ i ≤ q
t n+1 = t n + h n
y n+1 = y n + h n
1≤j≤q
b j p n,j
On a toujours
1≤j a ij = c i ,
1≤j≤q
b j = 1.
∗ Constante de stabilit´ e : S = exp(ΛT ) o` u k = constante de Lipschitz de f et
Λ = k
1≤j≤q
|b j |
1 + (αkh max ) + . . . + (αkh max )
j−1
, α = max
i
j
|a ij |.
∗ L’ordre est ≥ p si et seulement si les coefficients satisfont les relations
p ≥ 2 :
b j c j =
1
2
p ≥ 3 :
b j c j =
1
2
;
b j c
2
j =
1
3
;
i,j
b i a ij c j =
1
6
p ≥ 4 :
b j c
3
j =
1
4
;
i,j
b i a ij c
2
j =
1
12
;
i,j
b i c i a ij c j =
1
8
;
i,j,k
b i a ij a jk c k =
1
12
en plus des conditions des ordres 2 et 3.