Formulaire et principaux r´ esultats
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Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires quelconques Y
= A(t)Y + B(t).
Si R(t, t 0 ) d´ esigne la r´ esolvante, alors la solution du probl` eme de Cauchy Y (t 0 ) = V 0
est donn´ ee par
Y (t) = R(t, t 0 ) · V 0 +
t
t0
R(t, u)B(u)du,
et on a det (R(t, t 0 )) = exp
t
t0
tr A(u)du
.
Chapitre VIII : M´ ethodes num´ eriques ` a un pas
Ces m´ ethodes peuvent s’´ ecrire de mani` ere g´ en´ erale
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ), 0 ≤ n < N.
Si z est une solution exacte, l’erreur de consistance relative `
a z est par d´ efinition
e n = z(t n+1 ) − y n+1 pour y n = z(t n ). La m´ ethode est dite d’ordre ≥ p s’il existe
une constante C ind´ ependante de n et h max telle que |e n | ≤ Ch n h
p
max . Pour qu’il
en soit ainsi, il faut et il suffit que
∂
l Φ
∂h l (t, y, 0) =
1
l + 1
f
[l] (t, y), 0 ≤ l ≤ p − 1.
La m´ ethode est dite stable de constante de stabilit´ e S si pour toute suite perturb´ ee
y n telle que
y n+1 =
y n + h n Φ(t n ,
y n , h n ) + ε n , 0 ≤ n < N,
alors max
0≤n≤N
| y n − y n | ≤ S

 | y 0 − y 0 | +
0≤n |ε n |

 .
Sous cette hypoth` ese, l’erreur globale admet la majoration
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| ≤ S

 |y 0 − z(t 0 )| +
0≤n |e n |

 ,
≤ S (|y 0 − z(t 0 )| + CT h
p
max ) .
Lemme de Gronwall. Si θ n+1 ≤ (1 + Λh n )θ n + |ε n | avec h n , θ n ≥ 0 et ε n ∈ R,
alors
θ n ≤ e
Λ(tn−t0) θ 0 +
0≤i≤n−1
e
Λ(tn−ti+1)
|ε i |
≤ e
Λ(tn−t0)
θ 0 +
0≤i≤n−1
|ε i |
.