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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
´
Equations de Bernoulli : y
+ p(x)y + q(x)y
α = 0 o` u α ∈ R \ {1}.
Diviser par y
α et poser z(x) = y(x)
1−α . Alors z satisfait une ´ equation lin´ eaire.
´
Equations de Riccati : y
= a(x)y
2 + b(x)y + c(x).
Si une solution particuli` ere y (1) est connue, poser y = y (1) + z. Alors
1
z satisfait une
´ equation lin´ eaire.
´
Equations homog` enes : y
= f
y
x
.
Poser y(x) = xz(x), ou passer en coordonn´ ee polaires.
´
Equations non r´ esolues en y
: regarder si on peut trouver une param´ etrisation
simple de l’´ equation.
´
Equations de Lagrange : y = a(y
)x + b(y
).
Choisir p = y
comme nouvelle variable et x(p) comme nouvelle fonction inconnue.
Calculer dy et ´ ecrire dy = p dx.
´
Equations du second ordre : y
= f (y, y
) : choisir y comme nouvelle variable
et v = y
comme nouvelle fonction inconnue de y. On a alors y
= v dv/dy.
´
Equations lin´ eaires homog` enes du second ordre : a(x)y
+b(x)y
+c(x)y = 0.
Si une solution particuli` ere y (1) est connue, utiliser la m´ ethode de variation des
constantes : y(x) = λ(x)y (1) (x). Alors µ = λ
est solution d’une ´ equation du
premier ordre.
Chapitre VII : Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires ` a coefficients constants dans R
m
Solution du probl` eme de Cauchy Y (t 0 ) = V 0 pour
Y
= AY :
Y (t) = e
(t−t0)A
· V 0
Y
= AY + B(t) :
Y (t) = e
(t−t0)A
· V 0 +
t
t0
e
(t−u)A B(u)du
On a det (e
A ) = exp (tr A).
´
Equations d’ordre p : a p y
(p) + . . . + a 1 y
+ a 0 y = 0, a j ∈ C.
Si le polynˆ ome caract´ eristique a p λ
p + . . . + a 1 λ + a 0 admet pour racines complexes
λ 1 , . . . , λ s de multiplicit´ es m 1 , . . . , m s , alors l’espace des solutions admet pour base
t → t
q e
λj t , 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ q < m j .