Formulaire et principaux r´ esultats
331
M´ ethode d’Euler. Partant d’un point initial (t 0 , y 0 ), on pose
y n+1 = y n + h n f (t n , y n )
t n+1 = t n + h n
et on construit une solution approch´ ee y(t) lin´ eaire par morceaux en joignant les
points (t n , y n ). Si C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) est un cylindre de s´ ecurit´ e tel que
T ≤ min
T 0 ,
r 0
M
, o` u M =
s u p
[t0−T0,t0+T0]×B(y0,r0)
f ,
la solution approch´ ee (t, y(t)) reste contenue dans C. L’erreur v´ erifie
y
(t) − f (t, y(t)) ≤ ω f ((M + 1)h max )
o` u ω f est un module de continuit´ e pour f .
Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz. Si f est localement lipschitzienne en y, il passe
par tout point (t 0 , y 0 ) une solution maximale unique et toute suite de solutions
ε p -approch´ ees avec lim ε p = 0 converge vers la solution exacte : le lemme de
Gronwall montre que l’´ ecart entre 2 telles solutions approch´ ees y 1 , y 2 v´ erifie
y 1 (t) − y 2 (t) ≤ (ε 1 + ε 2 )
e
k|t−t0|
− 1
k
o` u k est la constante de Lipschitz.
´
Equations diff´ erentielles d’ordre p : y
(p) = f (t, y, y
, . . . , y
(p−1) ).
Si f est continue (resp. continue et localement lipschitzienne en toutes les variables
autres que t), il existe au moins une solution (resp. une unique solution) satisfaisant
la condition initiale
y(t 0 ) = y 0 , y
(t 0 ) = y 1 , . . . , y
(p−1) (t 0 ) = y p−1 .
Chapitre VI : M´ ethodes de r´ esolution explicite des
´ equations diff´ erentielles
´
Equations ` a variables s´ epar´ ees : y
= f (x)g(y).
´
Ecrire
dy
g(y) = f (x)dx.
´
Equations lin´ eaires du premier ordre : y
= a(x)y + b(x).
Solution g´ en´ erale : y(x) = λe
A(x) + y (1) (x) o` u A est une primitive de a et o` u y (1) (x)
s’obtient par la m´ ethode de variation des constantes, y (1) (x) = λ(x)e
A(x) .
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M´ ethode d’Euler. Partant d’un point initial (t 0 , y 0 ), on pose
y n+1 = y n + h n f (t n , y n )
t n+1 = t n + h n
et on construit une solution approch´ ee y(t) lin´ eaire par morceaux en joignant les
points (t n , y n ). Si C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) est un cylindre de s´ ecurit´ e tel que
T ≤ min
T 0 ,
r 0
M
, o` u M =
s u p
[t0−T0,t0+T0]×B(y0,r0)
f ,
la solution approch´ ee (t, y(t)) reste contenue dans C. L’erreur v´ erifie
y
(t) − f (t, y(t)) ≤ ω f ((M + 1)h max )
o` u ω f est un module de continuit´ e pour f .
Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz. Si f est localement lipschitzienne en y, il passe
par tout point (t 0 , y 0 ) une solution maximale unique et toute suite de solutions
ε p -approch´ ees avec lim ε p = 0 converge vers la solution exacte : le lemme de
Gronwall montre que l’´ ecart entre 2 telles solutions approch´ ees y 1 , y 2 v´ erifie
y 1 (t) − y 2 (t) ≤ (ε 1 + ε 2 )
e
k|t−t0|
− 1
k
o` u k est la constante de Lipschitz.
´
Equations diff´ erentielles d’ordre p : y
(p) = f (t, y, y
, . . . , y
(p−1) ).
Si f est continue (resp. continue et localement lipschitzienne en toutes les variables
autres que t), il existe au moins une solution (resp. une unique solution) satisfaisant
la condition initiale
y(t 0 ) = y 0 , y
(t 0 ) = y 1 , . . . , y
(p−1) (t 0 ) = y p−1 .
Chapitre VI : M´ ethodes de r´ esolution explicite des
´ equations diff´ erentielles
´
Equations ` a variables s´ epar´ ees : y
= f (x)g(y).
´
Ecrire
dy
g(y) = f (x)dx.
´
Equations lin´ eaires du premier ordre : y
= a(x)y + b(x).
Solution g´ en´ erale : y(x) = λe
A(x) + y (1) (x) o` u A est une primitive de a et o` u y (1) (x)
s’obtient par la m´ ethode de variation des constantes, y (1) (x) = λ(x)e
A(x) .