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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
o` u h =
β−α
2 m , puis
A m,n =
4
n A m,n−1 − A m−1,n−1
4 n − 1
.
Chapitre IV : M´ ethodes it´ eratives pour la
r´ esolution d’´ equations
M´ ethode de Newton : pour r´ esoudre f (x) = 0, on it` ere
ϕ(x) = x −
f (x)
f (x)
.
Si f (a) = 0 et M =
max
x∈[a−r,a+r]
f
(x)
f (x)
, alors pour h = min
1,
1
M
on a
(∀x ∈ [a − h, a + h])
|ϕ(x) − a| ≤ M |x − a|
2 .
Variante (m´ ethode de la s´ ecante) : A partir de valeurs initiales x 0 , x 1 , on pose



τ p =
f (xp)−f (xp−1)
xp−xp−1
x p+1 = x p −
f (xp)
τp
, (∀p ≥ 1).
M´ ethode de Newton-Raphson. Pour r´ esoudre f (x) = 0 o` u f : R
m
→ R
m , on
it` ere la fonction
ϕ(x) = x − f
(x)
−1
· f (x).
Chapitre V : ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats
fondamentaux
´
Etant donn´ e un ouvert U ⊂ R × R
m et une fonction continue f : U → R
m , il passe
par tout point (t 0 , y 0 ) ∈ U au moins une solution locale de l’´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y).
De plus toute solution peut ˆ etre prolong´ ee en une solution maximale ; l’intervalle
de d´ efinition d’une solution maximale est ouvert.