Formulaire et principaux r´ esultats
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Nombres de Bernoulli :
b 0 = 1, b 1 = −
1
2
, b p = B p (0) si p ≥ 2.

 
 
b 2k =
2(−1)
k−1 (2k)!
(2π) 2k
+∞
n=1
1
n 2k
si k ≥ 1,
b 2k+1 = 0
si k ≥ 1.
|B 2k (x)| ≤ |b 2k |,
B p (x) =
p
m=0
C
m
p b m x
p−m , B p (1 − x) = (−1)
p B p (x),
C
2k
2k+1 b 2k + C
2k−2
2k+1 b 2k−2 + . . . + C
2
2k+1 b 2 + C
1
2k+1 b 1 + 1 = 0,
b 2 =
1
6
, b 4 = −
1
30
, b 6 =
1
42
, b 8 = −
1
30
, b 10 =
5
66
.
Formule d’Euler-Maclaurin : Pour f ∈ C
2k ([α, β]), avec α, β ∈ Z, on a
1
2
f (α) + f (α + 1) + . . . + f (β − 1) +
1
2
f (β) =
β
α
f (x)dx+
k
m=1
b 2m
(2m)!
f
(2m−1) (β) − f
(2m−1) (α)
−
β
α
B 2k (x)
(2k)!
f
(2k) (x)dx.
Formule du d´ eveloppement asymptotique. Soit f ∈ C
∞ ([α, +∞[), α ∈ Z. Si
lim
x→+∞
f
(m) (x) = 0 et si f
(m) (x) est de signe constant sur [x 0 , +∞[ pour m ≥ m 0
alors ∀n ≥ x 0 et ∀k >
m0
2 on a
f (α) + f (α + 1) + . . . + f (n) = C +
1
2
f (n) +
n
α
f (x)dx
+
k−1
m=1
b 2m
(2m)!
f
(2m−1) (n) + θ
b 2k
2k!
f
(2k−1) (n),
0 ≤ θ ≤ 1.
Extrapolation de Richardson
Pour calculer la limite de A(t) = a 0 + a 1 t + . . . + a k t
k + O(t
k+1 ) en t = 0, on pose
A m,0 = A(r
−m t 0 ),
A m,n =
r
n A m,n−1 − A m−1,n−1
r n − 1
.
M´ ethode de Romberg : pour ´ evaluer
β
α
f (x)dx, on calcule
A m,0 = h
1
2
f (α) + f (α + h) + . . . + f (β − h) +
1
2
f (β)