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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Noyau de Peano d’une m´ ethode d’ordre N :
Si E(f ) =
β
α
f (x)w(x)dx −
l
j=0
λ j f (x j ) est l’erreur d’int´ egration, alors
K N (t) = E(x → (x − t)
N
+ ), t ∈ [α, β],
E(f ) =
1
N !
β
α
K N (t)f
(N +1) (t)dt.
Si K N est de signe constant, alors
E(f ) =
1
N !
f
(N +1) (ξ)
β
α
K N (t)dt, ξ ∈ ]α, β[.
Noyau de Peano d’une m´ ethode compos´ ee. Si la m´ ethode ´ el´ ementaire est
d’ordre N et admet k N pour noyau de Peano sur [−1, 1], le noyau de Peano compos´ e
est donn´ e par
K N (t) =
h j
2
N +1
k N
2
h j
t −
α j + α j+1
2
, t ∈ [α j , α j+1 ].
M´ ethodes de Gauss :
β
α
f (x)w(x)dx
l
j=0
λ j f (x j )
avec x 0 , . . . , x l ∈ ]α, β[ racines du polynˆ ome orthogonal p l+1
λ i =
β
α
L i (x)w(x)dx, L i (x) =
j =i
x − x j
x i − x j
.
La m´ ethode est d’ordre N = 2l + 1, et l’erreur est donn´ ee par
E(f ) =
f
(2l+2) (ξ)
(2l + 2)
β
α
π l+1 (x)
2 w(x)dx.
Polynˆ omes de Bernoulli : ils sont d´ efinis par r´ ecurrence par

     
     
B 1 (x) = x −
1
2
si x ∈ [0, 1[,
B
p = pB p−1 (x) sur [0, 1[ pour p ≥ 2,
1
0
B p (x)dx = 0,
B p p´ eriodique de p´ eriode 1 sur R.
B p (x) = −p!
n∈Z ∗
e
2πinx
(2πin) p .