Formulaire et principaux r´ esultats
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Si L n (f ) = p n =
n
i=0
f (x i )l i , on a
f − L n (f ) ≤ (1 + Λ n )f − q n .
Si les x i sont ´ equidistants, on a Λ n ∼
2
n+1
en ln (n) .
Si les x i sont les points de Tchebychev, on a Λ n ∼
2
π ln (n).
Polynˆ omes orthogonaux. Formule de r´ ecurrence :
p n (x) = (x − λ n )p n−1 (x) − µ n p n−2 (x), n ≥ 2
avec λ n = xp n−1 , p n−1 /p n−1
2
2 , µ n = p n−1
2
2 /p n−2
2
2 , 1 ≤ j ≤ l.
Polynˆ omes de meilleure approximation quadratique :
r n (x) =
n
k=0
f, p k
p k 2
2
p k (x).
Chapitre III : Int´ egration num´ erique
M´ ethodes de Newton-Cotes d’indice l :
β
α
f (x)dx
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
l
j=0
ω j f (ξ i,j )
avec ξ i,j = α i + j ·
αi+1−αi
l
, 1 ≤ j ≤ l.
∗ l = 1 : m´ ethodes des trap` ezes ω 0 = ω 1 =
1
2 (ordre 1).
erreur : −
1
12 h
2 f
(ξ)(β − α) si le pas est constant.
∗ l = 2 : m´ ethode de Simpson ω 0 = ω 2 =
1
6 , ω 1 =
4
6 (ordre 3).
erreur : −
1
2880 h
4 f
(4) (ξ)(β − α).
∗ l = 4 : m´ ethode de Boole-Villarceau
ω 0 = ω 4 =
7
90 , ω 1 = ω 3 =
16
45 , ω 2 =
2
15 (ordre 5).
erreur : −
1
1 935 360 h
6 f
(6) (ξ)(β − α).
Formule de Taylor avec reste int´ egral :
f (x) =
N
k=0
1
k!
f
(k) (α)(x − α)
k +
β
α
1
N !
(x − t)
N
+ f
(N +1) (t)dt.