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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Diff´ erences divis´ ees :
f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] =
f [x 1 , . . . , x k ] − f [x 0 , . . . , x k−1 ]
x k − x 0
,
p n (x) = f (x 0 ) +
n
k=1
f [x 0 , x 1 , . . . , x k ](x − x 0 ) . . . (x − x k−1 ).
Formule de Newton (pas constant h =
b−a
n ) :
x i = a + ih, f i = f (x i ), ∆
k f i = ∆
k−1 f i+1 − ∆
k−1 f i ,
p n (x) =
n
k=0
∆
k f 0
s(s − 1) . . . (s − k + 1)
k!
o` u x = a + sh.
Polynˆ omes de Tchebychev :
t n (x) = cos (n Arc cos x), x ∈ [−1, 1],
t 0 (x) = 1, t 1 (x) = x
t n+1 (x) = 2x t n (x) − t n−1 (x), n ≥ 1.
Points d’interpolation de Tchebychev ( = racines de t n+1 ) :
x i = cos
2i + 1
2n + 2
π,
0 ≤ i ≤ n.
Estimation de |π n+1 (z)|, z ∈ C avec x i = a + ih, h =
b−a
n :
On pose δ n (z) = min |z − x i | et A(z) = exp
1
b − a
b
a
ln |z − x|dx
. Alors il
existe des constantes C 1 , C 2 > 0 ind´ ependantes de n telles que
C 1 δ n (z)A(z)
n
≤ |π n+1 (z)| ≤ C 2 nδ n (z)A(z)
n .
Meilleure approximation uniforme : si f ∈ C([a, b]), le polynˆ ome q n de degr´ e
n minimisant la distance uniforme f − q n existe et est unique. Il est caract´ eris´ e
par la propri´ et´ e que f − q n ´ equioscille sur au moins n + 2 points de [a, b].
Th´ eor` eme de Jackson : soit f ∈ C([a, b]). Si ω f est le module de continuit´ e de f
et si p n est le polynˆ ome d’approximation de Jackson de f de degr´ e n, on a
f − p n ≤ 3 ω f
b − a
n
.
Constante de Lebesgue : Λ n = sup
x∈[a,b]
n
i=0
|l i (x)|.