Formulaire et principaux r´ esultats
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Chapitre I : Calculs num´ eriques approch´ es
Soit ε la pr´ ecision relative de l’expression approch´ ee des nombres r´ eels sur le
calculateur utilis´ ee. Les erreurs d’arrondi sur les op´ erations arithm´ etiques v´ erifient
∆(x + y) ≤ ∆x + ∆y + ε(|x| + |y|),
∆(xy) ≤ |x|∆y + |y|∆x + ε|xy|.
Si la sommation s n = x 1 + x 2 + . . . + x n est calcul´ ee par ordre croissant d’indice et
si ∆x i = 0, alors
∆(s n ) ≤ ε(|x n | + 2|x n−1 | + . . . + (n − 1)|x 2 | + (n − 1)|x 1 |),
∆(x
α1
1 x
α2
2 . . . x
αn
n ) ≤ ε(|α 1 | + . . . + |α n | − 1)|x
α1
1 x
α2
2 . . . x
αn
n |.
Chapitre II : Approximation polynomiale des
fonctions num´ eriques
Polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de f : [a, b] → R en des points
x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ [a, b] :
p n (x) =
n
i=0
f (x i )l i (x),
l i (x) =
j =i
x − x j
x i − x j
.
Formule d’erreur :
f (x) − p n (x) =
1
(n + 1)!
π n+1 (x)f
(n+1) (ξ x )
π n+1 (x) =
n
i=0
(x − x i ), ξ x ∈ ] min(x, x i ), max(x, x i )[.
avec