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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(b) On suppose ici que λ ∈ R. Soit u(t, λ) la solution satisfaisant la condition
initiale
∂
k u
∂t k (t 0 , λ) = y k (λ), 0 ≤ k ≤ p − 1
o` u y 0 (λ), . . . , y p−1 (λ) sont de classe C
1 au moins en λ. Montrer que v(t, λ) =
∂u/∂λ(t, λ) est la solution d’une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire d’ordre p dont
on pr´ ecisera les conditions initiales.
(c) Application : ´
Ecrire l’´ equation du (b) pour y
= e
λt y
2 +λy
, avec les conditions
initiales y(0) = e
−λ , y
(0) = cosh 2λ.
3.2. On s’int´ eresse ici au comportement des courbes int´ egrales passant par un point
voisin de l’origine, pour le syst` eme (S) de l’exercice X 3.2. Pour tout λ > 0, on note
t → M (t, λ) = (x(t, λ), y(t, λ))
la solution maximale de (S) qui passe par le point de coordonn´ ees (λ, 0) au temps
t = 0.
(a) D´ eterminer la solution t → ( x(t),
y(t)) du syst` eme lin´ earis´ e au voisinage de
l’origine, qui passe par le point (1, 0) au temps t = 0.
(b) A l’aide d’une homoth´ etie convenable et des m´ ethodes du chap. XI, montrer
que M (t, λ) admet un d´ eveloppement limit´ e de la forme
M (t, λ) = (λ x(t) + λ
2 u(t) + O(λ
3 ), λ y(t) + λ
2 v(t) + O(λ
3 ))
o` u u, v sont des fonctions que l’on explicitera.
3.3. L’objet de ce probl` eme est d’´ etudier les lignes de champ cr´ e´ ees dans un plan
par un dipˆ ole ´ electrique (par exemple une mol´ ecule polaris´ ee telle que le chlorure
d’hydrog` ene).
Le plan est rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e direct (O ; i, j), o` u O est la position du
dipˆ ole (suppos´ e ponctuel), et (O ; i) l’axe du dipˆ ole. Si M est un point quelconque
distinct de O, on note (r, θ) les coordonn´ ees polaires de M relativement au rep` ere
(O ; i, j). On associe ` a M le vecteur radial u = cos θ · i + sin θ · j et le vecteur
orthoradial v = − sin θ · i + cos θ · j. On admettra que le potentiel ´ electrique V (M )
cr´ e´ e par le dipˆ ole en tout point M = O est donn´ e par
V (M ) =
cos θ
r 2 .
(a) On rappelle les formules
d
− →
M = dr · u + rdθ · v,
− − →
grad V =
∂V
∂r
· u +
1
r
∂V
∂θ
· v.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(b) On suppose ici que λ ∈ R. Soit u(t, λ) la solution satisfaisant la condition
initiale
∂
k u
∂t k (t 0 , λ) = y k (λ), 0 ≤ k ≤ p − 1
o` u y 0 (λ), . . . , y p−1 (λ) sont de classe C
1 au moins en λ. Montrer que v(t, λ) =
∂u/∂λ(t, λ) est la solution d’une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire d’ordre p dont
on pr´ ecisera les conditions initiales.
(c) Application : ´
Ecrire l’´ equation du (b) pour y
= e
λt y
2 +λy
, avec les conditions
initiales y(0) = e
−λ , y
(0) = cosh 2λ.
3.2. On s’int´ eresse ici au comportement des courbes int´ egrales passant par un point
voisin de l’origine, pour le syst` eme (S) de l’exercice X 3.2. Pour tout λ > 0, on note
t → M (t, λ) = (x(t, λ), y(t, λ))
la solution maximale de (S) qui passe par le point de coordonn´ ees (λ, 0) au temps
t = 0.
(a) D´ eterminer la solution t → ( x(t),
y(t)) du syst` eme lin´ earis´ e au voisinage de
l’origine, qui passe par le point (1, 0) au temps t = 0.
(b) A l’aide d’une homoth´ etie convenable et des m´ ethodes du chap. XI, montrer
que M (t, λ) admet un d´ eveloppement limit´ e de la forme
M (t, λ) = (λ x(t) + λ
2 u(t) + O(λ
3 ), λ y(t) + λ
2 v(t) + O(λ
3 ))
o` u u, v sont des fonctions que l’on explicitera.
3.3. L’objet de ce probl` eme est d’´ etudier les lignes de champ cr´ e´ ees dans un plan
par un dipˆ ole ´ electrique (par exemple une mol´ ecule polaris´ ee telle que le chlorure
d’hydrog` ene).
Le plan est rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e direct (O ; i, j), o` u O est la position du
dipˆ ole (suppos´ e ponctuel), et (O ; i) l’axe du dipˆ ole. Si M est un point quelconque
distinct de O, on note (r, θ) les coordonn´ ees polaires de M relativement au rep` ere
(O ; i, j). On associe ` a M le vecteur radial u = cos θ · i + sin θ · j et le vecteur
orthoradial v = − sin θ · i + cos θ · j. On admettra que le potentiel ´ electrique V (M )
cr´ e´ e par le dipˆ ole en tout point M = O est donn´ e par
V (M ) =
cos θ
r 2 .
(a) On rappelle les formules
d
− →
M = dr · u + rdθ · v,
− − →
grad V =
∂V
∂r
· u +
1
r
∂V
∂θ
· v.