XI – ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
315
´
Evaluer le champ ´ electrique
− →
E = −
− − →
grad V cr´ e´ e par le dipˆ ole.
D´ eterminer l’´ equation r = ϕ(θ) de la ligne de champ (courbe int´ egrale du
champ de vecteurs
− →
E ) passant par le point de coordonn´ ees polaires (r 0 , θ 0 )
avec r 0 > 0 et θ 0 =
π
2 .
(b) Le dipˆ ole est suppos´ e plac´ e dans un champ ´ electrique ambiant constant
− →
E 0 = λ j, d’intensit´ e tr` es faible par rapport `
a son champ propre
− →
E .
(α) ´
Ecrire l’´ equation diff´ erentielle
dr
dθ = f (r, θ, λ) des lignes de champ relatives
au champ
− →
E +
− →
E 0 . Calculer le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 de f (r, θ, λ)
en fonction de λ.
(β) On note r = ψ(θ, λ) l’´ equation polaire de la ligne de champ passant par le
point
r 0 ,
π
2
[on ne cherchera pas `
a ´ evaluer ψ].
Montrer que w(θ) =
∂ψ
∂λ (θ, 0) satisfait `
a une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire.
En d´ eduire le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 de ψ(θ, λ) en fonction de λ.
3.4. Soit Ω un ouvert de R
m et M →
− →
V (M ) un champ de vecteurs de classe C
1
sur Ω. On consid` ere le flot associ´ e ` a l’´ equation diff´ erentielle
(E)
− − →
dM
dt
=
− →
V (M ).
Montrer que toute solution maximale de (E) est globale dans les trois cas suivants :
(a) Ω = R
m et
− →
V satisfait `
a l’infini la condition
− →
V (M ) ·
− − →
OM ≤ ≤
− − →
OM ϕ(
− − →
OM )
o` u ϕ : [0, +∞[ → R est une fonction continue, croissante et positive telle que
+∞
1
dt/ϕ(t) = +∞.
Indication: majorer v(
− − →
OM ) o` u v(t) =
t
1
du/ϕ(u) `
a l’aide d’un raisonnement
de type lemme de Gronwall.
(b) Ω est un ouvert born´ e et on a la condition
− →
V (M ) ≤ ϕ(d(M, ∂Ω)) avec
ϕ : ]0, +∞[ → R continue, croissante et positive telle que
1
0
dt/ϕ(t) = +∞
(et donc telle que lim t→0+ ϕ(t) = 0).
Indication: majorer v(d(M, ∂Ω)) o` u v(t) =
1
t
du/ϕ(u).
(c) Ω est un ouvert born´ e ` a bord r´ egulier de classe C
1 , et M →
− →
V (M ) se prolonge
en champ de vecteurs de classe C
1 sur Ω tel que
− →
V (M ) soit tangent `
a ∂Ω en
tout point du bord.
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
315
´
Evaluer le champ ´ electrique
− →
E = −
− − →
grad V cr´ e´ e par le dipˆ ole.
D´ eterminer l’´ equation r = ϕ(θ) de la ligne de champ (courbe int´ egrale du
champ de vecteurs
− →
E ) passant par le point de coordonn´ ees polaires (r 0 , θ 0 )
avec r 0 > 0 et θ 0 =
π
2 .
(b) Le dipˆ ole est suppos´ e plac´ e dans un champ ´ electrique ambiant constant
− →
E 0 = λ j, d’intensit´ e tr` es faible par rapport `
a son champ propre
− →
E .
(α) ´
Ecrire l’´ equation diff´ erentielle
dr
dθ = f (r, θ, λ) des lignes de champ relatives
au champ
− →
E +
− →
E 0 . Calculer le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 de f (r, θ, λ)
en fonction de λ.
(β) On note r = ψ(θ, λ) l’´ equation polaire de la ligne de champ passant par le
point
r 0 ,
π
2
[on ne cherchera pas `
a ´ evaluer ψ].
Montrer que w(θ) =
∂ψ
∂λ (θ, 0) satisfait `
a une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire.
En d´ eduire le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 de ψ(θ, λ) en fonction de λ.
3.4. Soit Ω un ouvert de R
m et M →
− →
V (M ) un champ de vecteurs de classe C
1
sur Ω. On consid` ere le flot associ´ e ` a l’´ equation diff´ erentielle
(E)
− − →
dM
dt
=
− →
V (M ).
Montrer que toute solution maximale de (E) est globale dans les trois cas suivants :
(a) Ω = R
m et
− →
V satisfait `
a l’infini la condition
− →
V (M ) ·
− − →
OM ≤ ≤
− − →
OM ϕ(
− − →
OM )
o` u ϕ : [0, +∞[ → R est une fonction continue, croissante et positive telle que
+∞
1
dt/ϕ(t) = +∞.
Indication: majorer v(
− − →
OM ) o` u v(t) =
t
1
du/ϕ(u) `
a l’aide d’un raisonnement
de type lemme de Gronwall.
(b) Ω est un ouvert born´ e et on a la condition
− →
V (M ) ≤ ϕ(d(M, ∂Ω)) avec
ϕ : ]0, +∞[ → R continue, croissante et positive telle que
1
0
dt/ϕ(t) = +∞
(et donc telle que lim t→0+ ϕ(t) = 0).
Indication: majorer v(d(M, ∂Ω)) o` u v(t) =
1
t
du/ϕ(u).
(c) Ω est un ouvert born´ e ` a bord r´ egulier de classe C
1 , et M →
− →
V (M ) se prolonge
en champ de vecteurs de classe C
1 sur Ω tel que
− →
V (M ) soit tangent `
a ∂Ω en
tout point du bord.