XI – ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
313
Par diff´ erentiation de l’´ equation en λ = 0, on trouve de plus
1
4
T
(0)
∂y
∂t
1
4
T (0), 0
+
∂y
∂λ
1
4
T (0), 0
= 0
avec
∂y
∂λ
1
4
T (0), 0
= v
π
2ω
=
π
32
,
d’o` u
1
4
T
(0)(−ω) +
π
32
= 0,
T
(0) =
π
8ω
,
T (λ) = T (0) + λT
(0) + O(λ
2 )
=
2π
ω
1 +
1
16
λ + O(λ
2 )
.
On retrouve ainsi l’approximation bien connue
T (θ
2
m ) = 2π
l
g
1 +
1
16
θ
2
m + O(θ
4
m )
.
Cette approximation pourrait ´ egalement se retrouver de mani` ere directe ` a partir de
la relation exacte
T =
8l
g
θm
0
dϕ
√
cos ϕ − cos θ m
,
qui r´ esulte des formules obtenues au chapitre VI 4.2 c). Exercice pour le lecteur !
¿º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
3.1. On consid` ere une ´ equation diff´ erentielle d’ordre p
(E λ )
y
(p) = f (t, y, y
, . . . , y
(p−1) , λ)
d´ ependant d’un param` etre λ, o` u f est d´ efinie et continue sur un ouvert U de
R × (R
m )
p
× R
q .
(a) On suppose que f (t, Y, λ) est de classe C
k sur U et qu’elle admet des d´ eriv´ ees
partielles de classe C
k par rapport `
a chacune des composantes de Y et λ. On
note
y(t, y 0 , y 1 , . . . , y p−1 , λ)
la solution de (E λ ) satisfaisant les conditions initiales
y(t 0 ) = y 0 , y
(t 0 ) = y 1 , . . . , y
(p−1) (t 0 ) = y 0 .
Montrer que cette solution y est de classe C
k+1 par rapport `
a l’ensemble des
variables t, y j , λ, de mˆ eme que ses d´ eriv´ ees partielles ∂y/∂t, . . . , ∂
p−1 y/∂t
p−1 .
[Indication : se ramener au cas d’un syst` eme d’ordre 1].