312
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On a ϕ
y (y, 0) = 1 et ϕ
λ (y, 0) = −
1
6 y
3 , de sorte que la fonction v(t) =
∂y
∂λ (t, 0)
satisfait l’´ equation
v
(t) = −ω
2
v(t) −
1
6
y(t, 0)
3
= −ω
2 v(t) +
1
6
ω
2 cos
3 ωt.
Comme y(0, λ) = 1 et ∂y/∂t(0, λ) = 0 pour tout λ, les conditions initiales sont
v(0) = v
(0) = 0. La solution g´ en´ erale du syst` eme sans second membre est
v(t) = α cos ωt + β sin ωt.
On applique alors la m´ ethode de variation des constantes avec
v(t) = α(t) cos ωt + β(t) sin ωt.
D’apr` es le chapitre VII § 3.3, ceci conduit au syst` eme
α
(t) cos ωt + β
(t) sin ωt = 0
α
(t)(−ω sin ωt) + β
(t) ω cos ωt =
1
6
ω
2 cos
3 ωt
d’o` u
α
(t) = −
ω
6
cos
3 ωt sin ωt
β
(t) =
ω
6
cos
4 ωt =
ω
48
(3 + 4 cos 2ωt + cos 4ωt),
α(t) = α 0 +
1
24
cos
4 ωt
β(t) = β 0 +
1
48
(3ωt + 2 sin 2ωt +
1
4
sin 4ωt).
Les conditions initiales v(0) = α(0) = 0 et v
(0) = α
(0) + ωβ(0) = 0 donnent
α(0) = β(0) = 0, donc α 0 = −
1
24 , β 0 = 0 et
v(t) =
1
24
(cos
4 ωt − 1) cos ωt +
1
48
(3ωt + 2 sin 2ωt +
1
4
sin 4ωt) sin ωt
=
1
16
ωt +
1
6
sin 2ωt
sin ωt,
y(t, λ) = cos ωt +
λ
16
(ωt +
1
6
sin 2ωt) sin ωt + O(λ
2 ).
Cherchons maintenant `
a partir de l` a l’influence de l’´ elongation maximale θ m sur
la p´ eriode des oscillations [on a vu au chapitre VI, 2.4 c) que les solutions de
faible amplitude ´ etaient p´ eriodiques ; ceci n’est pas contradictoire avec le fait
que le d´ eveloppement limit´ e de y(t, λ) ci-dessus soit non p´ eriodique, `
a cause du
terme O(λ
2 ) d´ ependant de t et lui-mˆ eme non p´ eriodique]. Soit T (λ) la p´ eriode, de
sorte que
1
4 T (λ) correspond au plus petit t > 0 tel que y(t, λ) = 0, c’est-` a-dire
y
1
4 T (λ), λ
= 0. Le th´ eor` eme des fonctions implicites montre que cette ´ equation
d´ efinit une fonction T (λ) de classe C
∞ pour λ petit, car
T (0) =
2π
ω
,
∂y
∂t
1
4
T (0), 0
= −ω sin ωt
t=
1
4 T (0)
= −ω = 0.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On a ϕ
y (y, 0) = 1 et ϕ
λ (y, 0) = −
1
6 y
3 , de sorte que la fonction v(t) =
∂y
∂λ (t, 0)
satisfait l’´ equation
v
(t) = −ω
2
v(t) −
1
6
y(t, 0)
3
= −ω
2 v(t) +
1
6
ω
2 cos
3 ωt.
Comme y(0, λ) = 1 et ∂y/∂t(0, λ) = 0 pour tout λ, les conditions initiales sont
v(0) = v
(0) = 0. La solution g´ en´ erale du syst` eme sans second membre est
v(t) = α cos ωt + β sin ωt.
On applique alors la m´ ethode de variation des constantes avec
v(t) = α(t) cos ωt + β(t) sin ωt.
D’apr` es le chapitre VII § 3.3, ceci conduit au syst` eme
α
(t) cos ωt + β
(t) sin ωt = 0
α
(t)(−ω sin ωt) + β
(t) ω cos ωt =
1
6
ω
2 cos
3 ωt
d’o` u
α
(t) = −
ω
6
cos
3 ωt sin ωt
β
(t) =
ω
6
cos
4 ωt =
ω
48
(3 + 4 cos 2ωt + cos 4ωt),
α(t) = α 0 +
1
24
cos
4 ωt
β(t) = β 0 +
1
48
(3ωt + 2 sin 2ωt +
1
4
sin 4ωt).
Les conditions initiales v(0) = α(0) = 0 et v
(0) = α
(0) + ωβ(0) = 0 donnent
α(0) = β(0) = 0, donc α 0 = −
1
24 , β 0 = 0 et
v(t) =
1
24
(cos
4 ωt − 1) cos ωt +
1
48
(3ωt + 2 sin 2ωt +
1
4
sin 4ωt) sin ωt
=
1
16
ωt +
1
6
sin 2ωt
sin ωt,
y(t, λ) = cos ωt +
λ
16
(ωt +
1
6
sin 2ωt) sin ωt + O(λ
2 ).
Cherchons maintenant `
a partir de l` a l’influence de l’´ elongation maximale θ m sur
la p´ eriode des oscillations [on a vu au chapitre VI, 2.4 c) que les solutions de
faible amplitude ´ etaient p´ eriodiques ; ceci n’est pas contradictoire avec le fait
que le d´ eveloppement limit´ e de y(t, λ) ci-dessus soit non p´ eriodique, `
a cause du
terme O(λ
2 ) d´ ependant de t et lui-mˆ eme non p´ eriodique]. Soit T (λ) la p´ eriode, de
sorte que
1
4 T (λ) correspond au plus petit t > 0 tel que y(t, λ) = 0, c’est-` a-dire
y
1
4 T (λ), λ
= 0. Le th´ eor` eme des fonctions implicites montre que cette ´ equation
d´ efinit une fonction T (λ) de classe C
∞ pour λ petit, car
T (0) =
2π
ω
,
∂y
∂t
1
4
T (0), 0
= −ω sin ωt
t=
1
4 T (0)
= −ω = 0.