XI – ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
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¾ººº Ç×××ÐÐÐØØÓÒ× Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐÐ
On ´ etudie les oscillations d’un pendule ponctuel de masse m suspendu `
a un fil de
longueur l. L’´ equation du mouvement a ´ et´ e ´ etablie au paragraphe VI 4.2(c) :
θ
= −
g
l
sin θ,
o` u θ d´ esigne l’angle fait par le fil avec la verticale. On suppose ici qu’on lache le
pendule au temps t = 0 `
a partir de l’´ elongation maximale θ = θ m avec vitesse initiale
nulle. Lorsque θ m est petit, on fait habituellement l’approximation sin θ θ, d’o` u
θ
= −ω
2 θ avec ω
2 =
g
l
.
La solution cherch´ ee est alors classiquement
θ(t) = θ m cos ωt.
N´ eanmoins, ceci n’est pas rigoureusement exact, et on aimerait connaˆ ıtre l’erreur
commise. Pour cela, on pose θ(t) = θ m y(t), de sorte que y est la solution de
l’´ equation
y
= −ω
2 sin θ m y
θ m
avec condition initiales y(0) = 1, y
(0) = 0. Le d´ eveloppement en s´ erie de sin θ m y
donne
sin θ m y
θ m
= y −
1
6
θ
2
m y
3 +
1
120
θ
4
m y
5
− . . . + (−1)
n
1
(2n + 1)!
θ
2n
m y
2n+1 + . . . = ϕ(y, λ)
o` u λ = θ
2
m et o` u
ϕ(y, λ) = y −
1
6
λy
3 + . . . + (−1)
n
1
(2n + 1)!
λ
n y
2n+1 + . . .
est une fonction de classe C
∞ . La solution y(t, λ) de l’´ equation
(E λ )
y
= −ω
2 ϕ(y, λ)
est donc de classe C
∞ (on notera que tous les r´ esultats du paragraphe 1 sont encore
vrais pour des ´ equations d’ordre ≥ 2, puisque ces ´ equations sont ´ equivalentes `
a
des syst` emes d’ordre 1). On a ϕ(y, 0) = y et y(t, 0) = cos ωt. Pour obtenir un
d´ eveloppement limit´ e de y(t, λ) lorsque λ est petit, on d´ erive (E λ ) par rapport `
a λ,
ce qui donne
∂
2
∂t 2
∂y
∂λ
=
∂
∂λ
∂
2 y
∂t 2 =
∂
∂λ
(−ω
2 ϕ(y, λ))
(E
λ )
= −ω
2
ϕ
y (y, λ)
∂y
∂λ
+ ϕ
λ (y, λ)
.