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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On cherche ` a comparer l’allure des courbes int´ egrales situ´ ees pr` es de l’origine
lorsqu’on effectue des grossissements successifs (observation `
a l’œil nu, `
a la loupe
puis au microscope...). Autrement dit, on veut comparer la courbe issue d’un point
M 0 et la courbe issue du point λM 0 (avec λ petit), lorsque ces courbes sont ramen´ ees
` a la mˆ eme ´ echelle. Pour grossir la deuxi` eme courbe dans le rapport 1/λ, on effectue
le changement de coordonn´ ees X = x/λ, Y = y/λ. Dans ces nouvelles coordonn´ ees,
l’´ equation du syst` eme devient
(E λ )

  
  
dX
dt
= aX + bY +
1
λ
g(λX, λY )
dY
dt
= cX + dY +
1
λ
h(λX, λY ).
La solution de (E λ ) de valeur initiale (X 0 , Y 0 ) en t = 0, correspond `
a la solution de
(E) de valeur initiale (x 0 , y 0 ) = (λX 0 , λY 0 ). Vu les hypoth` eses, les fonctions
G(X, Y, λ) =
1
λ
g(λX, λY )
H(X, Y, λ) =
1
λ
h(λX, λY )
sont d´ efinies et de classe C
s sur B(0, r 0 )×]0, 1] et se prolongent par continuit´ e en
λ = 0 en posant G(X, Y, 0) = H(X, Y, 0) = 0. Ce prolongement est en fait de classe
C
s−1 sur B(0, r 0 ) × [0, 1] car
G(X, Y, λ) =
1
0
(Xg
x (uλX, uλY ) + Y g
y (uλX, uλY ))du =
1
λ
g(uλX, uλY )
u=1
u=0
.
Si s = 1, les fonctions G, H sont bien lipschitziennes en X, Y (avec la mˆ eme
constante de Lipschitz que g et h). La solution (X(t, λ), Y (t, λ)) du probl` eme de
Cauchy est donc continue, et pour s ≥ 1 elle est de classe C
s−1 par rapport `
a (t, λ),
borne λ = 0 incluse. En particulier :
Proposition – Lorsque λ tend vers 0, la solution de (E λ ) de valeur initiale
(X 0 , Y 0 ) converge vers la solution du syst` eme lin´ eaire
(E)

  
  
dX
dt
= aX + bY
dY
dt
= cX + dY.
Bien entendu, les m´ ethodes pr´ ec´ edentes permettent aussi d’avoir un d´ eveloppement
limit´ e ` a l’ordre 1 de la solution de (E λ ) au voisinage de λ = 0, comme on l’a vu au
§ 2.2.