XI – ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
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Grˆ ace ` a une diff´ erentiation de (∗) par rapport `
a λ, il vient
∂
∂t
∂z
∂λ
=
∂
∂λ
∂z
∂t
=
∂
∂λ
(iz + λA(z))
= i
∂z
∂λ
+ A(z) + λ
∂
∂λ
(A(z(t, λ))).
Par cons´ equent v(t) =
∂z
∂λ (t, 0) satisfait l’´ equation
(E
0 )
dv
dt
= iv + A(z(t, 0)) = iv + A(z 0 e
it )
avec condition initiale v(0) =
∂z
∂λ (0, 0) = 0. Cette ´ equation se r´ esout par variation
des constantes en posant v(t) = C(t)e
it . Il vient
C
(t)e
it + iC(t)e
it = iC(t)e
it + A(z 0 e
it ),
soit C
(t) = e
−it A(z 0 e
it ). Comme C(0) = v(0) = 0, on obtient
C(t) =
t
0
e
−iu A(z 0 e
iu )du,
v(t) = C(t)e
it =
t
0
e
i(t−u) A(z 0 e
iu )du,
z(t, λ) = z 0 e
it + λ
t
0
e
i(t−u) A(z 0 e
iu )du + o(λ).
Ceci se calcule facilement d` es que a(x, y) et b(x, y) sont des polynˆ omes par exemple.
N´ eanmoins, mˆ eme dans ce cas, il est g´ en´ eralement impossible d’expliciter la solution
exacte de l’´ equation non lin´ earis´ ee.
¾º¿º ÓÙÖÖÖ× ÒØ ÖÖÐÐ× ³ÙÒ ÑÔ ÚÚÚØØÙÖ× Ù ÚÓÓ××ÒÒ ³ÙÒ
ÔÓÓÒØ ××ÒÒÙÐÐÐÖ
Soit M →
− →
V (M ) un champ de vecteurs de classe C
s , s ≥ 1, sur un ouvert Ω du plan.
On se place au voisinage d’un point singulier qu’on suppose choisi comme origine
des coordonn´ ees pour simplifier. On a donc
− →
V (0) =
− →
0 , et comme au chapitre X
§ 2.1, le syst` eme diff´ erentiel va s’´ ecrire
(E)
dM
dt
=
− →
V (M ),

  
  
dx
dt
= ax + by + g(x, y)
dy
dt
= cx + dy + h(x, y)
o` u
a b
c d
est la matrice des d´ eriv´ ees partielles (
− →
V
x (0, 0),
− →
V
y (0, 0)) et o` u g, h
s’annulent ainsi que leurs d´ eriv´ ees partielles premi` eres au point (0, 0). Les fonctions
g, h sont par hypoth` ese d´ efinies sur une certaine boule B(0, r 0 ).