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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
o` u v(t) =
∂y
∂λ (t, λ 0 ) est ` a d´ eterminer. On sait que v est la solution de l’´ equation
lin´ earis´ ee
(E
λ0 )
v
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u(t), λ 0 )v j (t) + f
λ (t, u(t), λ 0 ),
la condition initiale s’´ ecrivant ici
v(t 0 ) =
∂y
∂λ
(t 0 , λ 0 ) = y
0 (λ 0 ).
Comme (E
λ0 ) est lin´ eaire, la r´ esolution est en principe plus facile que celle de (E λ ).
Nous allons maintenant donner des exemples concrets de la m´ ethode.
¾º¾º ÈÈÖØÙÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ÑÔ ÚÚÚØØÙÖ×
Consid´ erons dans le plan le champ de vecteurs
M = (x, y) →
− →
V (M ) = (−y, x).
Les lignes int´ egrales du champ t → (x(t), y(t)) sont les solutions du syst` eme
diff´ erentiel
d
− →
M
dt
=
− →
V (M )

  
  
dx
dt
= −y
dy
dt
= x.
On r´ esout ce syst` eme comme au chapitre X, § 2.2(b) en posant z = x+iy. Le syst` eme
se ram` ene alors ` a l’´ equation dz/dt = iz, de sorte que la solution du probl` eme de
Cauchy avec donn´ ee initiale z 0 = x 0 + iy 0 est z = z 0 e
it . Les lignes de champ sont
les cercles centr´ es en 0.
On suppose maintenant que le champ de vecteurs subit une petite perturbation de
la forme
M = (x, y) →
− →
V λ (M ) = (−y, x) + λ(a(x, y), b(x, y))
o` u a, b sont de classe C
1 et o` u λ ∈ R est petit. On aboutit donc au syst` eme
diff´ erentiel
(E λ )

  
  
dx
dt
= −y + λ a(x, y)
dy
dt
= x + λ b(x, y)
⇐⇒
dz
dt
= iz + λA(z)
( ∗)
avec A(z) = a(x, y) + ib(x, y). Notons z(t, λ) la solution telle que z(0, λ) = z 0 .
On sait que z(t, 0) = z 0 e
it et on aimerait avoir une approximation de z(t, λ) quand
λ est petit. ´
Ecrivons
z(t, λ) = z(t, 0) + λ
∂z
∂λ
(t, 0) + o(λ).