XI – ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
307
est un homomorphisme du groupe additif (R, +) dans le groupe Diff
k (Ω) des C
k
diff´ eomorphismes de Ω : on a en effet
Φ t ◦ Φ −t = Φ −t ◦ Φ t = Φ 0 = Id Ω ,
par suite Φ t est un C
k -diff´ eomorphisme d’inverse Φ −t .
Dans le cas o` u les solutions ne sont plus globales, l’existence globale de Φ t ∈ Diff
k (Ω)
n’est pas assur´ ee, mais Φ t (x) continue `
a exister en temps petit, et la loi de groupe
(∗) est encore valable l` a o` u les applications sont d´ efinies, donc au moins dans un
voisinage de {0} × Ω. L’exercice 3.4 donne quelques crit` eres suppl´ ementaires pour
que le flot soit globalement d´ efini.
Le th´ eor` eme de r´ egularit´ e du flot est l’un des points de d´ epart de r´ esultats plus
globaux comme le th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixson, que nous nos contenterons
d’´ enoncer. Pour plus de d´ etails, nous invitons le lecteur `
a approfondir la tr` es vivante
branche des math´ ematiques connue aujourd’hui sous le nom de th´ eorie des syst` emes
dynamiques.
Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixson – Soit M →
− →
V (M ) un champ de
vecteurs de classe C
1 dans un ouvert Ω du plan. On suppose qu’il existe un compact
K ⊂ Ω ne contenant aucun z´ ero du champ de vecteurs
− →
V et stable par le flot Φ t
pour t ≥ 0 [ce qui implique que Φ t (x) est d´ efini pour tout x ∈ K et tout t ≥ 0 ].
Alors K est constitu´ e d’une orbite p´ eriodique du flot.
¾º Å ØØÓÓÓ × ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ×
¾º½º ××ÖÖÔØØÓÒ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ
On consid` ere une ´ equation diff´ erentielle
(E λ )
y
= f (t, y, λ)
d´ ependant d’un param` etre λ ; on prendra pour simplifier λ ∈ R. On suppose que
f est continue ainsi que ses d´ eriv´ ees partielles f
yj et f
λ . Soit y(t, λ) la solution
maximale du probl` eme de Cauchy satisfaisant la condition initiale y(t 0 , λ) = y 0 (λ) ;
y 0 peut donc d´ ependre ici de λ ; on supposera que y 0 (λ) est de classe C
1 .
On suppose connue une solution particuli` ere u(t) = y(t, λ 0 ) correspondant `
a une
certaine valeur λ 0 du param` etre. L’objectif est d’´ etudier les petites perturbations
de la solution, c’est-` a-dire les solutions y(t, λ) associ´ ees ` a des valeurs λ voisines de
λ 0 . Ceci correspond `
a une situation physique tr` es courante, dans laquelle on connaˆ ıt
la solution th´ eorique id´ eale d’un probl` eme et pour laquelle on cherche la solution
r´ eelle tenant compte de petites perturbations plus ou moins complexes. En g´ en´ eral,
on ne sait pas calculer la solution exacte y(t, λ) pour λ = λ 0 . Les r´ esultats des
§ 1.3, 1.4 montrent que y(t, λ) est de classe C
1 et on cherche donc une approximation
au premier ordre
y(t, λ) = y(t, λ 0 ) + (λ − λ 0 )
∂y
∂λ
(t, λ 0 ) + o(λ − λ 0 )
= u(t) + (λ − λ 0 )v(t) + o(λ − λ 0 )
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
307
est un homomorphisme du groupe additif (R, +) dans le groupe Diff
k (Ω) des C
k
diff´ eomorphismes de Ω : on a en effet
Φ t ◦ Φ −t = Φ −t ◦ Φ t = Φ 0 = Id Ω ,
par suite Φ t est un C
k -diff´ eomorphisme d’inverse Φ −t .
Dans le cas o` u les solutions ne sont plus globales, l’existence globale de Φ t ∈ Diff
k (Ω)
n’est pas assur´ ee, mais Φ t (x) continue `
a exister en temps petit, et la loi de groupe
(∗) est encore valable l` a o` u les applications sont d´ efinies, donc au moins dans un
voisinage de {0} × Ω. L’exercice 3.4 donne quelques crit` eres suppl´ ementaires pour
que le flot soit globalement d´ efini.
Le th´ eor` eme de r´ egularit´ e du flot est l’un des points de d´ epart de r´ esultats plus
globaux comme le th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixson, que nous nos contenterons
d’´ enoncer. Pour plus de d´ etails, nous invitons le lecteur `
a approfondir la tr` es vivante
branche des math´ ematiques connue aujourd’hui sous le nom de th´ eorie des syst` emes
dynamiques.
Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixson – Soit M →
− →
V (M ) un champ de
vecteurs de classe C
1 dans un ouvert Ω du plan. On suppose qu’il existe un compact
K ⊂ Ω ne contenant aucun z´ ero du champ de vecteurs
− →
V et stable par le flot Φ t
pour t ≥ 0 [ce qui implique que Φ t (x) est d´ efini pour tout x ∈ K et tout t ≥ 0 ].
Alors K est constitu´ e d’une orbite p´ eriodique du flot.
¾º Å ØØÓÓÓ × ÔÔØØØØ× ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ×
¾º½º ××ÖÖÔØØÓÒ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ
On consid` ere une ´ equation diff´ erentielle
(E λ )
y
= f (t, y, λ)
d´ ependant d’un param` etre λ ; on prendra pour simplifier λ ∈ R. On suppose que
f est continue ainsi que ses d´ eriv´ ees partielles f
yj et f
λ . Soit y(t, λ) la solution
maximale du probl` eme de Cauchy satisfaisant la condition initiale y(t 0 , λ) = y 0 (λ) ;
y 0 peut donc d´ ependre ici de λ ; on supposera que y 0 (λ) est de classe C
1 .
On suppose connue une solution particuli` ere u(t) = y(t, λ 0 ) correspondant `
a une
certaine valeur λ 0 du param` etre. L’objectif est d’´ etudier les petites perturbations
de la solution, c’est-` a-dire les solutions y(t, λ) associ´ ees ` a des valeurs λ voisines de
λ 0 . Ceci correspond `
a une situation physique tr` es courante, dans laquelle on connaˆ ıt
la solution th´ eorique id´ eale d’un probl` eme et pour laquelle on cherche la solution
r´ eelle tenant compte de petites perturbations plus ou moins complexes. En g´ en´ eral,
on ne sait pas calculer la solution exacte y(t, λ) pour λ = λ 0 . Les r´ esultats des
§ 1.3, 1.4 montrent que y(t, λ) est de classe C
1 et on cherche donc une approximation
au premier ordre
y(t, λ) = y(t, λ 0 ) + (λ − λ 0 )
∂y
∂λ
(t, λ 0 ) + o(λ − λ 0 )
= u(t) + (λ − λ 0 )v(t) + o(λ − λ 0 )