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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Ω
M 0
− →
V (M )
− →
V (M 0 )
Dans cette situation, il y a invariance des solutions par translation dans le temps :
si t → y(t) est solution, il en est encore de mˆ eme pour t → y(t + a). Pour un point
M 0 = x ∈ R
m donn´ e, consid´ erons la solution maximale du probl` eme de Cauchy y(t)
de donn´ ee initiale y(0) = x. D’apr` es le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz, la solution
maximale est d´ efinie un intervalle ouvert contenant le temps 0. On appelle flot du
champ de vecteurs
− →
V l’application
Φ : R × Ω → Ω,
(t, x) → Φ(t, x) = y(t),
c’est-` a-dire que t → Φ(t, x) est la solution de l’´ equation
d
dt
Φ(t, x) =
− →
V (Φ(t, x))
avec Φ(0, x) = x.
La solution maximale n’est en g´ en´ eral d´ efinie `
a x fix´ e que pour un certain intervalle
ouvert de temps, de sorte que Φ(t, x) n’est d´ efini que sur un certain voisinage ouvert
∆ de {0}×Ω dans R×Ω. Le fait que le domaine de d´ efinition maximal ∆ soit ouvert
dans R × Ω r´ esulte du § 1.1, et d’apr` es le § 1.4, on sait que Φ est une application de
classe C
k sur ∆.
Pour que les solutions soient globales et que ∆ = U = R × Ω, un comportement
ad´ equat du champ de vecteurs
− →
V (M ) au voisinage du bord de Ω ; par exemple, si
Ω = R
m , il suffit, d’apr` es le crit` ere de globalit´ e des solutions du chapitre V § 3.4,
que l’on ait une croissance au plus lin´ eaire ` a l’infini f (y) ≤ Ay + B. Pour des
raisons qui vont apparaˆ ıtre tout de suite, on note en g´ en´ eral Φ t (x) le flot plutˆ ot
que Φ(t, x). Une propri´ et´ e imm´ ediate est alors la loi de groupe
(∗)
Φ t ◦ Φ s (x) = Φ t+s (x).
Ceci signifie pr´ ecis´ ement que si l’on suit une trajectoire `
a partir d’un point x pendant
le temps s pour atteindre un point Φ s (x), puis, `
a partir de ce point la mˆ eme
trajectoire pendant le temps t pour atteindre Φ t (Φ s (x)), cela revient au mˆ eme
que de suivre la trajectoire pendant le temps s + t. Formellement, on a besoin du
th´ eor` eme d’unicit´ e de Cauchy-Lipschitz pour pouvoir conclure. On voit que t → Φ t
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Ω
M 0
− →
V (M )
− →
V (M 0 )
Dans cette situation, il y a invariance des solutions par translation dans le temps :
si t → y(t) est solution, il en est encore de mˆ eme pour t → y(t + a). Pour un point
M 0 = x ∈ R
m donn´ e, consid´ erons la solution maximale du probl` eme de Cauchy y(t)
de donn´ ee initiale y(0) = x. D’apr` es le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz, la solution
maximale est d´ efinie un intervalle ouvert contenant le temps 0. On appelle flot du
champ de vecteurs
− →
V l’application
Φ : R × Ω → Ω,
(t, x) → Φ(t, x) = y(t),
c’est-` a-dire que t → Φ(t, x) est la solution de l’´ equation
d
dt
Φ(t, x) =
− →
V (Φ(t, x))
avec Φ(0, x) = x.
La solution maximale n’est en g´ en´ eral d´ efinie `
a x fix´ e que pour un certain intervalle
ouvert de temps, de sorte que Φ(t, x) n’est d´ efini que sur un certain voisinage ouvert
∆ de {0}×Ω dans R×Ω. Le fait que le domaine de d´ efinition maximal ∆ soit ouvert
dans R × Ω r´ esulte du § 1.1, et d’apr` es le § 1.4, on sait que Φ est une application de
classe C
k sur ∆.
Pour que les solutions soient globales et que ∆ = U = R × Ω, un comportement
ad´ equat du champ de vecteurs
− →
V (M ) au voisinage du bord de Ω ; par exemple, si
Ω = R
m , il suffit, d’apr` es le crit` ere de globalit´ e des solutions du chapitre V § 3.4,
que l’on ait une croissance au plus lin´ eaire ` a l’infini f (y) ≤ Ay + B. Pour des
raisons qui vont apparaˆ ıtre tout de suite, on note en g´ en´ eral Φ t (x) le flot plutˆ ot
que Φ(t, x). Une propri´ et´ e imm´ ediate est alors la loi de groupe
(∗)
Φ t ◦ Φ s (x) = Φ t+s (x).
Ceci signifie pr´ ecis´ ement que si l’on suit une trajectoire `
a partir d’un point x pendant
le temps s pour atteindre un point Φ s (x), puis, `
a partir de ce point la mˆ eme
trajectoire pendant le temps t pour atteindre Φ t (Φ s (x)), cela revient au mˆ eme
que de suivre la trajectoire pendant le temps s + t. Formellement, on a besoin du
th´ eor` eme d’unicit´ e de Cauchy-Lipschitz pour pouvoir conclure. On voit que t → Φ t