XI – ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
305
½ººº ÔÔÒÒÒÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒ ÒÒØØØÐÐ
On d´ esignera ici par t → y(t, y 0 , λ) la solution de l’´ equation diff´ erentielle
(E λ )
y
= f (t, y, λ)
de donn´ ee initiale (t 0 , y 0 ). L’objectif est d’´ etudier la continuit´ e ou la diff´ erentiabilit´ e
de y(t, y 0 , λ) en fonction des 3 variables t, y 0 , λ. Ceci r´ esoudra du mˆ eme coup le cas
particulier des solutions y(t, y 0 ) d’une ´ equation diff´ erentielle (E) sans param` etre.
Pour r´ esoudre cette question, on consid` ere la variable y 0 elle-mˆ eme comme un
param` etre et on pose donc µ = y 0 . La fonction z(t, µ, λ) = y(t, µ, λ) − µ satisfait
alors la condition initiale z(t 0 , µ, λ) = 0 et l’´ equation
∂z
∂t
(t, µ, λ) =
∂y
∂t
(t, µ, λ) = f (t, y(t, µ, λ), λ)
= f (t, z(t, µ, λ) + µ, λ).
La fonction z(t, µ, λ) est donc la solution de l’´ equation diff´ erentielle
(E µ,λ )
z
= f (t, z + µ, λ)
avec donn´ ee initiale (t 0 , 0). Les propri´ et´ es cherch´ ees r´ esultent alors des th´ eor` emes
d´ ej` a d´ emontr´ es, appliqu´ es ` a l’´ equation (E µ,λ ) pour le param` etre (µ, λ) ∈ R
m+p . On
peut donc ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Si f est de classe C
s et admet des d´ eriv´ ees partielles f
yj et f
λi de
classe C
s , alors y(t, y 0 , λ) est de classe C
s+1 .
½ººº ÐÓØ ³ÙÒ ÑÔ ÚÚÚØØÙÖ×
Consid´ erons un ouvert Ω ⊂ R
m et un champ de vecteurs M →
− →
V (M ) de classe
C
k d´ efini sur Ω, k ≥ 1. On appelle ´ equation diff´ erentielle associ´ ee au champ de
vecteurs
− →
V l’´ equation diff´ erentielle
(E)
− − →
dM
dt
=
− →
V (M ).
Si nous repr´ esentons le point M par ses coordonn´ ees not´ ees y = (y 1 , . . . , y m ), et le
champ
− →
V par une fonction
− →
V (M ) = f (y), l’´ equation devient
(E)
y
= f (y),
il s’agit donc tout simplement d’une ´ equation diff´ erentielle dont le second membre
est ind´ ependant du temps. L’ouvert de d´ efinition est dans ce cas l’ouvert produit
U = R × Ω. R´ esoudre (E) revient `
a chercher les courbes int´ egrales (ou orbites) du
champ de vecteurs.
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
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½ººº ÔÔÒÒÒÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒ ÒÒØØØÐÐ
On d´ esignera ici par t → y(t, y 0 , λ) la solution de l’´ equation diff´ erentielle
(E λ )
y
= f (t, y, λ)
de donn´ ee initiale (t 0 , y 0 ). L’objectif est d’´ etudier la continuit´ e ou la diff´ erentiabilit´ e
de y(t, y 0 , λ) en fonction des 3 variables t, y 0 , λ. Ceci r´ esoudra du mˆ eme coup le cas
particulier des solutions y(t, y 0 ) d’une ´ equation diff´ erentielle (E) sans param` etre.
Pour r´ esoudre cette question, on consid` ere la variable y 0 elle-mˆ eme comme un
param` etre et on pose donc µ = y 0 . La fonction z(t, µ, λ) = y(t, µ, λ) − µ satisfait
alors la condition initiale z(t 0 , µ, λ) = 0 et l’´ equation
∂z
∂t
(t, µ, λ) =
∂y
∂t
(t, µ, λ) = f (t, y(t, µ, λ), λ)
= f (t, z(t, µ, λ) + µ, λ).
La fonction z(t, µ, λ) est donc la solution de l’´ equation diff´ erentielle
(E µ,λ )
z
= f (t, z + µ, λ)
avec donn´ ee initiale (t 0 , 0). Les propri´ et´ es cherch´ ees r´ esultent alors des th´ eor` emes
d´ ej` a d´ emontr´ es, appliqu´ es ` a l’´ equation (E µ,λ ) pour le param` etre (µ, λ) ∈ R
m+p . On
peut donc ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Si f est de classe C
s et admet des d´ eriv´ ees partielles f
yj et f
λi de
classe C
s , alors y(t, y 0 , λ) est de classe C
s+1 .
½ººº ÐÓØ ³ÙÒ ÑÔ ÚÚÚØØÙÖ×
Consid´ erons un ouvert Ω ⊂ R
m et un champ de vecteurs M →
− →
V (M ) de classe
C
k d´ efini sur Ω, k ≥ 1. On appelle ´ equation diff´ erentielle associ´ ee au champ de
vecteurs
− →
V l’´ equation diff´ erentielle
(E)
− − →
dM
dt
=
− →
V (M ).
Si nous repr´ esentons le point M par ses coordonn´ ees not´ ees y = (y 1 , . . . , y m ), et le
champ
− →
V par une fonction
− →
V (M ) = f (y), l’´ equation devient
(E)
y
= f (y),
il s’agit donc tout simplement d’une ´ equation diff´ erentielle dont le second membre
est ind´ ependant du temps. L’ouvert de d´ efinition est dans ce cas l’ouvert produit
U = R × Ω. R´ esoudre (E) revient `
a chercher les courbes int´ egrales (ou orbites) du
champ de vecteurs.