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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Ici G est continue en (t, v, λ) et localement lipschitzienne en v, puisque lin´ eaire en
cette variable. Par suite v =
∂y
∂λ est ´ egalement continue en (t, λ), ce qui implique
que y est de classe C
1 . Enfin, on a bien
∂
∂t
∂y
∂λ
=
∂
∂t
v(t, λ)
=
m
j=1
f
yj (t, y(t, λ), λ)
∂y j
∂λ
(t, λ) + f
λ (t, y(t, λ), λ)
=
∂
∂λ
(f (t, y(t, λ), λ) =
∂
∂λ
∂y
∂t
(t, λ)
et ces d´ eriv´ ees partielles secondes sont continues grˆ ace ` a la deuxi` eme ligne.
G´ en´ eralisation – Le th´ eor` eme s’´ etend ais´ ement au cas o` u λ ∈ R
p . Il suffit en
effet de fixer toutes les variables λ i sauf une pour constater que
∂
∂λi
∂y
∂t =
∂
∂t
∂y
∂λi et
que v(t) =
∂y
∂λi (t, λ) est la solution de l’´ equation lin´ earis´ ee
(E λi )
v
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u(t), λ)v j (t) + f
λi (t, u(t), λ)
avec condition initiale v(t 0 ) = 0.
Le fait que y(t, λ) soit encore de classe C
1 provient de ce que le th´ eor` eme de
continuit´ e du § 1.2 est vrai globalement par rapport `
a l’ensemble des variables
(λ 1 , . . . , λ p ) : celui-ci entraˆ ıne la continuit´ e en (t, λ) des d´ eriv´ ees partielles ∂y/∂λ i .
Nous ´ etudions maintenant la diff´ erentiabilit´ e d’ordre sup´ erieur : nous allons voir
qu’elle se d´ eduit aussitˆ ot par r´ ecurrence du cas de l’ordre un.
Th´ eor` eme – On suppose que f est de classe C
s et admet des d´ eriv´ ees partielles
f
yj et f
λi de classe C
s . Alors la solution y(t, λ) du probl` eme de Cauchy relatif `
a
(E λ ) est de classe C
s+1 .
D´ emonstration. Par r´ ecurrence sur s. Pour s = 0, il s’agit du th´ eor` eme pr´ ec´ edent.
Supposons le r´ esultat d´ ej` a d´ emontr´ e ` a l’ordre s − 1. Alors y(t, λ) est de classe C
s .
Il en est de mˆ eme de sa d´ eriv´ ee
∂y
∂t
(t, λ) = f (t, y(t, λ), λ).
De plus v(t, λ) =
∂y
∂λi (t, λ) est la solution de l’´ equation lin´ earis´ ee (E
λi ), soit
v
= G(t, v, λ). Comme f
yj et f
λi sont de classe C
s , on voit que G est de classe
C
s ; les d´ eriv´ ees G
vj et G
λi sont donc de classe C
s−1 et l’hypoth` ese de r´ ecurrence
implique que v est de classe C
s . Ceci montre que y est de classe C
s+1 .
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Ici G est continue en (t, v, λ) et localement lipschitzienne en v, puisque lin´ eaire en
cette variable. Par suite v =
∂y
∂λ est ´ egalement continue en (t, λ), ce qui implique
que y est de classe C
1 . Enfin, on a bien
∂
∂t
∂y
∂λ
=
∂
∂t
v(t, λ)
=
m
j=1
f
yj (t, y(t, λ), λ)
∂y j
∂λ
(t, λ) + f
λ (t, y(t, λ), λ)
=
∂
∂λ
(f (t, y(t, λ), λ) =
∂
∂λ
∂y
∂t
(t, λ)
et ces d´ eriv´ ees partielles secondes sont continues grˆ ace ` a la deuxi` eme ligne.
G´ en´ eralisation – Le th´ eor` eme s’´ etend ais´ ement au cas o` u λ ∈ R
p . Il suffit en
effet de fixer toutes les variables λ i sauf une pour constater que
∂
∂λi
∂y
∂t =
∂
∂t
∂y
∂λi et
que v(t) =
∂y
∂λi (t, λ) est la solution de l’´ equation lin´ earis´ ee
(E λi )
v
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u(t), λ)v j (t) + f
λi (t, u(t), λ)
avec condition initiale v(t 0 ) = 0.
Le fait que y(t, λ) soit encore de classe C
1 provient de ce que le th´ eor` eme de
continuit´ e du § 1.2 est vrai globalement par rapport `
a l’ensemble des variables
(λ 1 , . . . , λ p ) : celui-ci entraˆ ıne la continuit´ e en (t, λ) des d´ eriv´ ees partielles ∂y/∂λ i .
Nous ´ etudions maintenant la diff´ erentiabilit´ e d’ordre sup´ erieur : nous allons voir
qu’elle se d´ eduit aussitˆ ot par r´ ecurrence du cas de l’ordre un.
Th´ eor` eme – On suppose que f est de classe C
s et admet des d´ eriv´ ees partielles
f
yj et f
λi de classe C
s . Alors la solution y(t, λ) du probl` eme de Cauchy relatif `
a
(E λ ) est de classe C
s+1 .
D´ emonstration. Par r´ ecurrence sur s. Pour s = 0, il s’agit du th´ eor` eme pr´ ec´ edent.
Supposons le r´ esultat d´ ej` a d´ emontr´ e ` a l’ordre s − 1. Alors y(t, λ) est de classe C
s .
Il en est de mˆ eme de sa d´ eriv´ ee
∂y
∂t
(t, λ) = f (t, y(t, λ), λ).
De plus v(t, λ) =
∂y
∂λi (t, λ) est la solution de l’´ equation lin´ earis´ ee (E
λi ), soit
v
= G(t, v, λ). Comme f
yj et f
λi sont de classe C
s , on voit que G est de classe
C
s ; les d´ eriv´ ees G
vj et G
λi sont donc de classe C
s−1 et l’hypoth` ese de r´ ecurrence
implique que v est de classe C
s . Ceci montre que y est de classe C
s+1 .