XI – ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
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On peut donc ´ ecrire
f (t, y, λ)−f (t, y 1 , λ 1 ) =
m
j=1
f
yj (t, y 1 , λ 1 )(y j −y 1,j )+f
λ (t, y 1 , λ 1 )(λ−λ 1 )+g(t, y, y 1 , λ)
o` u g(t, y, y 1 , λ) admet une majoration uniforme
g(t, y, y 1 , λ) ≤ (y − y 1 + |λ − λ 1 |) η(y − y 1 + |λ − λ 1 |)
pour un certain module de continuit´ e η. En substituant y = u(t), y 1 = u 1 (t) dans
la derni` ere formule, on d´ eduit de (∗) les relations
w
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u 1 (t), λ 1 )(u j (t) − u 1,j (t) − (λ − λ 1 )v 1,j (t)) + g(t, u(t), u 1 (t), λ),
w
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u 1 (t), λ 1 )w j (t) + g(t, u(t), u 1 (t), λ),
(∗∗)
avec la majoration uniforme
g(t, u(t), u 1 (t), λ) ≤ (C + 1)|λ − λ 1 | η((C + 1)|λ − λ 1 |) = o(λ − λ 1 ) ;
en effet
u(t) − u 1 (t) = y(t, λ) − y(t, λ 1 ) ≤ C|λ − λ 1 |
d’apr` es la remarque finale du § 1.2. L’´ equation (∗∗) est lin´ eaire en w, et donc
K-lipschitzienne avec
K = sup
V0
1≤j≤m
f
yj .
Comme u(t 0 ) = u 1 (t 0 ) = y 0 et v 1 (t 0 ) = 0, on a w(t 0 ) = 0, et par ailleurs
w(t) ≡ 0
est une solution ε-approch´ ee de (∗∗) avec ε = o(λ − λ 1 ). Le lemme de Gronwall V
3.1 montre que
w(t) = w(t) −
w(t) ≤ ε
e
KT
− 1
K
= o(λ − λ 1 ),
c’est-` a-dire, par d´ efinition de w, u, u 1 :
y(t, λ) − y(t, λ 1 ) − (λ − λ 1 )v 1 (t) = o(λ − λ 1 ).
Ceci signifie que
∂y
∂λ (t, λ 1 ) existe et co¨ ıncide avec v 1 (t). La fonction y admet donc
bien des d´ eriv´ ees partielles premi` eres
∂y
∂t
(t, λ) = f (t, y(t, λ), λ) et
∂y
∂λ
(t, λ).
La d´ eriv´ ee partielle
∂y
∂t est continue en (t, λ) puisque y l’est. Par ailleurs v(t, λ) =
∂y
∂λ (t, λ) est la solution avec donn´ ees initiales t 0 , v 0 = 0 de l’´ equation lin´ earis´ ee
(E
λ )
v
= G(t, v, λ) =
m
j=1
f
yj (t, y(t, λ), λ)v j + f
λ (t, y(t, λ), λ).