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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Th´ eor` eme – On suppose que f est continue sur U et admet des d´ eriv´ ees partielles
f
yj et f
λ continues sur U .
Alors y(t, λ) est de classe C
1 sur [t 0 − T, t 0 + T ] × B(λ 0 , α 0 ) et admet des d´ eriv´ ees
partielles secondes crois´ ees continues
∂
∂λ
∂y
∂t
=
∂
∂t
∂y
∂λ
.
De plus, si u(t) = y(t, λ), la d´ eriv´ ee partielle v(t) =
∂y
∂λ (t, λ) est la solution de
l’´ equation diff´ erentielle lin´ earis´ ee
(E
λ )
v
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u(t), λ)v j (t) + f
λ (t, u(t), λ)
avec condition initiale v(t 0 ) = 0.
D´ emonstration.* Les hypoth` eses entraˆ ınent que f est localement lipschitzienne
en la variable y, donc on sait d´ ej` a que y(t, λ) est continue. Pour λ 1 fix´ e posons
u 1 (t) = y(t, λ 1 ) et soit v 1 (t) la solution de l’´ equation lin´ eaire
(E
λ1 )
v
1 (t) =
m
j=1
f
yj (t, u 1 (t), λ 1 )v 1,j (t) + f
λ (t, u 1 (t), λ 1 ).
avec condition initiale v 1 (t 0 ) = 0. Bien entendu, on ne sait pas encore que
v 1 (t) =
∂y
∂λ (t, λ 1 ), c’est justement ce qu’on veut d´ emontrer. Pour cela on compare
u(t) = y(t, λ) et u 1 (t) + (λ − λ 1 )v 1 (t) et on cherche ` a montrer que la diff´ erence est
o(λ − λ 1 ). Posons donc
w(t) = u(t) − u 1 (t) − (λ − λ 1 )v 1 (t).
Par d´ efinition de u, u 1 , v 1 il vient
w
(t) = f (t, u(t), λ) − f (t, u 1 (t), λ 1 )
−(λ − λ 1 )
m
j=1
f
yj (t, u 1 (t), λ 1 )v 1,j (t) + f
λ (t, u 1 (t), λ 1 )
(∗)
Pour chaque composante f k , la formule des accroissements finis montre que
f k (t, y, λ) − f k (t, y 1 , λ 1 ) =
m
j=1
f
k,yj (t,
y,
λ)(y j − y 1,j ) + f
k,λ (t,
y,
λ)(λ − λ 1 )
o` u ( y,
λ) est un point appartenant au segment d’extr´ emit´ es (y 1 , λ 1 ) et (y, λ). Si
η k est un module de continuit´ e uniforme pour les d´ eriv´ ees partielles f
k,yj et f
k,λ
sur le compact V 0 , l’´ ecart de chaque fonction entre les points ( y,
λ) et (y 1 , λ 1 ) est
major´ e par
η k ( y − y 1 + |
λ − λ 1 |) ≤ η k (y − y 1 + |λ − λ 1 |).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Th´ eor` eme – On suppose que f est continue sur U et admet des d´ eriv´ ees partielles
f
yj et f
λ continues sur U .
Alors y(t, λ) est de classe C
1 sur [t 0 − T, t 0 + T ] × B(λ 0 , α 0 ) et admet des d´ eriv´ ees
partielles secondes crois´ ees continues
∂
∂λ
∂y
∂t
=
∂
∂t
∂y
∂λ
.
De plus, si u(t) = y(t, λ), la d´ eriv´ ee partielle v(t) =
∂y
∂λ (t, λ) est la solution de
l’´ equation diff´ erentielle lin´ earis´ ee
(E
λ )
v
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u(t), λ)v j (t) + f
λ (t, u(t), λ)
avec condition initiale v(t 0 ) = 0.
D´ emonstration.* Les hypoth` eses entraˆ ınent que f est localement lipschitzienne
en la variable y, donc on sait d´ ej` a que y(t, λ) est continue. Pour λ 1 fix´ e posons
u 1 (t) = y(t, λ 1 ) et soit v 1 (t) la solution de l’´ equation lin´ eaire
(E
λ1 )
v
1 (t) =
m
j=1
f
yj (t, u 1 (t), λ 1 )v 1,j (t) + f
λ (t, u 1 (t), λ 1 ).
avec condition initiale v 1 (t 0 ) = 0. Bien entendu, on ne sait pas encore que
v 1 (t) =
∂y
∂λ (t, λ 1 ), c’est justement ce qu’on veut d´ emontrer. Pour cela on compare
u(t) = y(t, λ) et u 1 (t) + (λ − λ 1 )v 1 (t) et on cherche ` a montrer que la diff´ erence est
o(λ − λ 1 ). Posons donc
w(t) = u(t) − u 1 (t) − (λ − λ 1 )v 1 (t).
Par d´ efinition de u, u 1 , v 1 il vient
w
(t) = f (t, u(t), λ) − f (t, u 1 (t), λ 1 )
−(λ − λ 1 )
m
j=1
f
yj (t, u 1 (t), λ 1 )v 1,j (t) + f
λ (t, u 1 (t), λ 1 )
(∗)
Pour chaque composante f k , la formule des accroissements finis montre que
f k (t, y, λ) − f k (t, y 1 , λ 1 ) =
m
j=1
f
k,yj (t,
y,
λ)(y j − y 1,j ) + f
k,λ (t,
y,
λ)(λ − λ 1 )
o` u ( y,
λ) est un point appartenant au segment d’extr´ emit´ es (y 1 , λ 1 ) et (y, λ). Si
η k est un module de continuit´ e uniforme pour les d´ eriv´ ees partielles f
k,yj et f
k,λ
sur le compact V 0 , l’´ ecart de chaque fonction entre les points ( y,
λ) et (y 1 , λ 1 ) est
major´ e par
η k ( y − y 1 + |
λ − λ 1 |) ≤ η k (y − y 1 + |λ − λ 1 |).