XI – ´
Equations diff´ erentielles d´ ependant d’un param` etre
301
tandis que z 2 (t) = y(t, λ 2 ) en est une solution ε-approch´ ee avec ε = η(λ 1 − λ 2 ).
Le lemme de Gronwall V 3.1 montre que
z 1 (t) − z 2 (t) ≤ ε
e
k|t−t0|
− 1
k
, d’o` u
y(t, λ 1 ) − y(t, λ 2 ) ≤
e
kT
− 1
k
η(λ 1 − λ 2 ).
De ces in´ egalit´ es, nous d´ eduisons
y(t 1 , λ 1 ) − y(t 2 , λ 2 ) ≤ ≤y(t 1 , λ 1 ) − y(t 2 , λ 1 ) + y(t 2 , λ 1 ) − y(t 2 , λ 2 )
≤ M |t 1 − t 2 | +
e
kT
− 1
k
η(λ 1 − λ 2 )
et comme le second membre tend vers 0 lorsque (t 2 , λ 2 ) → (t 1 , λ 1 ), on voit que
y(t, λ) est bien continue sur [t 0 − T, t 0 + T ] × B(λ 0 , α 0 ).
Remarque – La d´ emonstration montre aussi que si f (t, y, λ) est localement
lipschitzienne en λ, alors y(t, λ) est localement lipschitzienne en (t, λ) : dans ce cas,
on peut prendre η(u) = Cu.
½º¿º ÖÖÒØØØØØÐÐØ
Afin de simplifier les notations, on suppose dans un premier temps que λ ∈ R, c’est` a-dire que p = 1. Pour deviner les r´ esultats, nous effectuons d’abord un calcul formel
en supposant les fonctions f et y(t, λ) autant de fois diff´ erentiables que n´ ecessaire.
Comme y satisfait (E λ ) par hypoth` ese, on a
∂y
∂t
(t, λ) = f (t, y(t, λ), λ).
Diff´ erentions cette relation par rapport `
a λ :
∂
2 y
∂λ∂t
(t, λ) =
m
j=1
f
yj (t, y(t, λ), λ)
∂y j
∂λ
(t, λ) + f
λ (t, y(t, λ), λ).
En posant u(t) = y(t, λ) et v(t) =
∂y
∂λ (t, λ) il vient
(E
λ )
v
(t) =
m
j=1
f
yj (t, u(t), λ)v j (t) + f
λ (t, u(t), λ).
On observe que l’´ equation (E
λ ) satisfaite par v est lin´ eaire. L’´ equation (E
λ )
s’appelle l’´ equation diff´ erentielle lin´ earis´ ee associ´ ee ` a (E λ ). Par ailleurs v satisfait
la condition initiale
v(t 0 ) =
∂y
∂λ
(t 0 , λ) = 0,
car par hypoth` ese y(t 0 , λ) = y 0 ne d´ epend pas de λ.