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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Fixons un point (t 0 , y 0 , λ 0 ) ∈ U . Comme U est ouvert, ce point admet un voisinage
(compact) contenu dans U
V 0 = [t 0 − T 0 , t 0 + T 0 ] × B(y 0 , r 0 ) × B(λ 0 , α 0 ).
On note M = sup
V0
f . Alors pour tout T ≤ min
T 0 ,
r0
M
fix´ e et pour tout
λ ∈ B(λ 0 , α 0 ), le cylindre
C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) ⊂ U λ
est un cylindre de s´ ecurit´ e pour les solutions de E λ , d’apr` es les r´ esultats du chapitre
V, § 2.1. Le th´ eor` eme d’existence V 2.4 implique :
Proposition – Avec les notations pr´ ec´ edentes, la solution y(t, λ) est d´ efinie pour
tout (t, λ) ∈ [t 0 − T, t 0 + T ] × B(λ 0 , α 0 ) et elle est `
a valeurs dans B(y 0 , r 0 ).
½º¾º ÓÒØØÒÙÙØ
On suppose maintenant de plus que f est localement lipschitzienne en y, c’est-` a-dire
qu’apr` es avoir ´ eventuellement r´ etr´ eci V 0 , il existe une constante k ≥ 0 telle que
∀(t, λ) ∈ [t 0 − T 0 , t 0 + T 0 ] × B(λ 0 , α 0 ), ∀y 1 , y 2 ∈ B(y 0 , r 0 ),
f (t, y 1 , λ) − f (t, y 2 , λ) ≤ ky 1 − y 2 .
Th´ eor` eme – Si f est continue sur U et localement lipschitzienne en y, alors la
solution y(t, λ) est continue sur [t 0 − T, t 0 + T ] × B(λ 0 , α 0 ).
D´ emonstration. Remarquons d’abord que
d
dt
y(t, λ)
= f (t, y(t, λ), λ) ≤ M
car f ≤ M sur V 0 . Le th´ eor` eme des accroissements finis montre alors que y(t, λ)
est M -lipschitzienne par rapport `
a t, c’est-` a-dire que
y(t 1 , λ) − y(t 2 , λ) ≤ M |t 1 − t 2 |
pour tous (t 1 , λ), (t 2 , λ) ∈ [t 0 − T, t 0 + T ] × B(λ 0 , α 0 ). Par ailleurs, comme V 0 est
compact, f y est conform´ ement continue et il existe donc un module de continuit´ e
η : R + → R + tel que
f (t, y, λ 1 ) − f (t, y, λ 2 ) ≤ η(λ 1 − λ 2 )
avec lim
u→0+
η(u) = 0. Alors z 1 (t) = y(t, λ 1 ) est la solution exacte du probl` eme de
Cauchy pour l’´ equation
(E λ1 )
y
= f (t, y, λ 1 ),