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Etant donn´ e une ´ equation diff´ erentielle y
= f (t, y, λ) d´ ependant d’un param` etre λ,
on se propose d’´ etudier comment les solutions varient en fonction de λ. En particulier on montrera que, sous des hypoth` eses convenables, les solutions d´ ependent
continˆ ument ou diff´ erentiablement du param` etre λ. Outre l’aspect th´ eorique, ces
r´ esultats sont importants en vue de la m´ ethode dite des perturbations : il arrive
fr´ equemment qu’on sache calculer la solution y pour une valeur particuli` ere λ 0 ,
mais pas pour les valeurs voisines λ ; on cherche alors un d´ eveloppement limit´ e
de la solution y associ´ ee ` a la valeur λ en fonction de λ − λ 0 . On montrera que
le coefficient de λ − λ 0 est obtenu en r´ esolvant une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire,
appel´ ee ´ equation lin´ earis´ ee de l’´ equation initiale ; ce fait remarquable permet
g´ en´ eralement de bien ´ etudier les petites perturbations de la solution.
½º ÔÔÒÒÒÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÖÖÑ ØÖÖ
½º½º ÆÓØØØÓÒ×
Soit U un ouvert de R × R
m
× R
p et
f : U → R
m
(t, y, λ) → f (t, y, λ)
une fonction continue. Pour chaque valeur de λ ∈ R
p , on consid` ere l’´ equation
diff´ erentielle
(E λ )
y
= f (t, y, λ),
(t, y) ∈ U λ
o` u U λ ⊂ R × R
m est l’ouvert des points tels que (t, y, λ) ∈ U . Une donn´ ee initiale
(t 0 , y 0 ) ´ etant fix´ ee, on note y(t, λ) la solution maximale du probl` eme de Cauchy
relatif `
a (E λ ) telle que y(t 0 , λ) = y 0 ; on supposera toujours dans la suite que les
hypoth` eses assurant l’unicit´ e des solutions sont v´ erifi´ ees. Notre objectif est d’´ etudier
la continuit´ e ou la diff´ erentiabilit´ e de y 0 (t, λ) en fonction du couple (t, λ).