296
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
et lim t→ln r0+0 θ(t) = +∞, la courbe s’enroule en spiralant `
a l’int´ erieur du cercle
r = 1 quand t → ln r 0 + 0.
0
1
x
¿º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
3.1. On consid` ere sur R
2 le champ de vecteurs
− →
V
x
y
=
x
2
− y
2
2xy
.
(a) D´ eterminer les points critiques.
(b) En posant z = x + iy, calculer la solution correspondant `
a la donn´ ee initiale z 0
au temps t = 0.
(c) En d´ eduire que les courbes int´ egrales sont les deux demi-axes 0x, 0x
et les
cercles passant par l’origine, centr´ es sur l’axe y
0y.
(d) Montrer que les solutions telles que z 0 ∈ C \ [0, +∞[ sont asymptotiquement
stables. Qu’en est-il si z 0 ∈ [0, +∞[ ?
3.2. On ´ etudie dans R
2 le syst` eme diff´ erentiel
(S)
d
− →
M
dt
=
− →
V (M )
o` u
− →
V d´ esigne le champ de vecteurs qui ` a tout point M (x, y) ∈ R
2 associe le vecteur
− →
V (M ) = (−x
2
− y, −x + y
2 ).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
et lim t→ln r0+0 θ(t) = +∞, la courbe s’enroule en spiralant `
a l’int´ erieur du cercle
r = 1 quand t → ln r 0 + 0.
0
1
x
¿º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
3.1. On consid` ere sur R
2 le champ de vecteurs
− →
V
x
y
=
x
2
− y
2
2xy
.
(a) D´ eterminer les points critiques.
(b) En posant z = x + iy, calculer la solution correspondant `
a la donn´ ee initiale z 0
au temps t = 0.
(c) En d´ eduire que les courbes int´ egrales sont les deux demi-axes 0x, 0x
et les
cercles passant par l’origine, centr´ es sur l’axe y
0y.
(d) Montrer que les solutions telles que z 0 ∈ C \ [0, +∞[ sont asymptotiquement
stables. Qu’en est-il si z 0 ∈ [0, +∞[ ?
3.2. On ´ etudie dans R
2 le syst` eme diff´ erentiel
(S)
d
− →
M
dt
=
− →
V (M )
o` u
− →
V d´ esigne le champ de vecteurs qui ` a tout point M (x, y) ∈ R
2 associe le vecteur
− →
V (M ) = (−x
2
− y, −x + y
2 ).