X – Stabilit´ e des solutions et points singuliers
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e = e 0
1
x
Exemple 2 – On consid` ere maintenant le syst` eme diff´ erentiel
(S)

  
  
dx
dt
= −x −
2y
ln (x 2 + y 2 )
dy
dt
= −y +
2x
ln (x 2 + y 2 )
sur le disque unit´ e ouvert x
2 + y
2 < 1. Observons que 2y/ ln (x
2 + y
2 ) se prolonge
en une fonction de classe C
1 au voisinage de (0, 0) : elle admet en effet une limite
´ egale ` a 0 ` a l’origine, ainsi que ses d´ eriv´ ees partielles
−4xy
(x 2 + y 2 )(ln (x 2 + y 2 )) 2 ,
2
ln (x 2 + y 2 )
−
4y
2
(x 2 + y 2 )(ln (x 2 + y 2 )) 2 .
Il en est de mˆ eme pour le terme 2x/ ln (x
2 + y
2 ). L’origine est donc un point
singulier, et le syst` eme lin´ eaire associ´ e dx/dt = −x, dy/dt = −y pr´ esente un nœud
propre. Pour r´ esoudre (S), on utilise de nouveau les coordonn´ ees polaires (r, θ). Il
vient

  
  
dr
dt
= −
x
2 + y
2
r
= −r
dθ
dt
=
1
x 2 + y 2
2x
2 + 2y
2
ln (x 2 + y 2 )
=
1
ln r
.
La solution du probl` eme de Cauchy est donn´ ee par
r = r 0 e
−t avec r 0 < 1,
dθ =
dt
ln r 0 − t
, θ = θ 0 − ln (1 − t/ ln r 0 )
pour une donn´ ee initiale (r 0 , θ 0 ) en t = 0. La solution est d´ efinie sur [ln r 0 , +∞[
et on a lim t→+∞ r(t) = 0, lim t→+∞ θ(t) = −∞. On a ici encore une spirale
convergeant vers 0 (c’est peu visible sur le sch´ ema ci-dessous car θ tend vers −∞
tr` es lentement). L’origine est donc un foyer stable. Comme lim t→ln r0+0 r(t) = 1 −