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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
α > 0
Foyer instable
α < 0
Foyer stable
α = 0
Centre
Si α = 0, le rapport d’homoth´ etie de deux spires cons´ ecutives de la spirale est e
2πα/β
.
¾º¿º ËËÒÒÙÐÐÖÖØ × ÑÔ× ÚÚÚØØÙÖ× ÒÓÒ ÐÐÒ ÖÖ×
L’objet de ce paragraphe est essentiellement de mettre en garde le lecteur contre un
certain nombre d’id´ ees fausses fr´ equemment rencontr´ ees, en particulier l’id´ ee que
les courbes int´ egrales d’un champ de vecteurs quelconque au voisinage d’un point
singulier ressemblent toujours `
a celles du syst` eme lin´ eaire associ´ e. En fait, ce n’est
en g´ en´ eral pas le cas lorsque le syst` eme lin´ earis´ e pr´ esente un centre, et cela peut
de mˆ eme ne pas ˆ etre le cas lorsque celui-ci pr´ esente un nœud. Les deux exemples
ci-dessous illustrent le ph´ enom` ene.
Exemple 1 – On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel
(S)

  
  
dx
dt
= −y − x(x
2 + y
2 )
dy
dt
= x − y(x
2 + y
2 ).
L’origine est un point critique non d´ eg´ en´ er´ e, et le syst` eme lin´ eaire associ´ e
dx/dt = −y, dy/dt = x pr´ esente un centre d’apr` es le §2.2. Si l’on passe en coordonn´ ees polaires (r, θ) le syst` eme (S) devient

  
  
r
dr
dt
= x
dx
dt
+ y
dy
dt
= −(x
2 + y
2 )
2
dθ
dt
=
x
dy
dt − y
dx
dt
x 2 + y 2 = 1
⇐⇒

  
  
dr
r 3 = −dt
dθ = dt
car rdr = xdx + ydy et xdy − ydx = r
2 dθ (exercice !). Les courbes int´ egrales de
l’´ equation −dr/r
3 = dθ sont donn´ ees par 1/2r
2 = θ − θ 0 , soit r = (2(θ − θ 0 ))
−1/2
pour θ > θ 0 . On a ici θ = t + C, lim θ→+∞ r(θ) = 0. On voit que les courbes
int´ egrales sont des spirales convergeant vers 0 quand t → +∞, l’origine est donc un
foyer stable.