X – Stabilit´ e des solutions et points singuliers
293
x
y
x
y
λ > 0
Nœud exceptionnel instable
λ < 0
Nœud exceptionnel stable
(b) Les valeurs propres de A sont non r´ eelles.
On a des valeurs propres complexes conjugu´ ees α + iβ, α − iβ avec disons β > 0, et
il existe une base dans laquelle la matrice A et le syst` eme s’´ ecrivent
A =
α −β
β α
,
dx
dt
= αx − βy
dy
dt
= βx + αy.
La mani` ere la plus rapide de r´ esoudre un tel syst` eme est de poser z = x + iy. On
trouve alors
dz
dt
= (α + iβ)x + (−β + αi)y = (α + iβ)(x + iy) = (α + iβ)z,
de sorte que la solution g´ en´ erale est
z(t) = z 0 e
(α+iβ)t = z 0 e
αt e
iβt .
En coordonn´ ees polaires z = re
iθ , l’´ equation devient
r = r 0 e
αt
θ = θ 0 + βt
, soit r = r 0 e
α
β
(θ−θ0) .
Il s’agit d’une spirale logarithmique si α = 0 et d’un cercle si α = 0 (noter que ce
cercle donne en g´ en´ eral graphiquement une ellipse car la base utilis´ ee ci-dessus n’est
pas n´ ecessairement orthonorm´ ee). On dit alors que le point singulier est un foyer,
respectivement un centre :
293
x
y
x
y
λ > 0
Nœud exceptionnel instable
λ < 0
Nœud exceptionnel stable
(b) Les valeurs propres de A sont non r´ eelles.
On a des valeurs propres complexes conjugu´ ees α + iβ, α − iβ avec disons β > 0, et
il existe une base dans laquelle la matrice A et le syst` eme s’´ ecrivent
A =
α −β
β α
,
dx
dt
= αx − βy
dy
dt
= βx + αy.
La mani` ere la plus rapide de r´ esoudre un tel syst` eme est de poser z = x + iy. On
trouve alors
dz
dt
= (α + iβ)x + (−β + αi)y = (α + iβ)(x + iy) = (α + iβ)z,
de sorte que la solution g´ en´ erale est
z(t) = z 0 e
(α+iβ)t = z 0 e
αt e
iβt .
En coordonn´ ees polaires z = re
iθ , l’´ equation devient
r = r 0 e
αt
θ = θ 0 + βt
, soit r = r 0 e
α
β
(θ−θ0) .
Il s’agit d’une spirale logarithmique si α = 0 et d’un cercle si α = 0 (noter que ce
cercle donne en g´ en´ eral graphiquement une ellipse car la base utilis´ ee ci-dessus n’est
pas n´ ecessairement orthonorm´ ee). On dit alors que le point singulier est un foyer,
respectivement un centre :