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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
x
y
x
y
λ > 0
Nœud propre instable
λ < 0
Nœud propre stable
∗ A est non diagonalisable. Alors il existe une base dans laquelle la matrice A et le
syst` eme s’´ ecrivent
A =
λ 0
1 λ
,

  
  
dx
dt
= λx
dy
dt
= x + λy.
Le courbes int´ egrales sont donn´ ees par
x(t) = x 0 e
λt
y(t) = (y 0 + x 0 t)e
λt .
Comme toute courbe int´ egrale avec x 0 = 0 passe par un point tel que |x(t)| = 1, on
obtient toutes les courbes int´ egrales autres que x = 0 en prenant x 0 = ±1, d’o` u

 
 
t =
1
λ
ln |x|
y = y 0 |x| +
x
λ
ln |x|
On dit qu’il s’agit d’un nœud exceptionnel. Pour construire les courbes, on tracera
par exemple d’abord la courbe y =
x
λ ln |x| passant par (x 0 , y 0 ) = (±1, 0). Toutes
les autres s’en d´ eduisent par homoth´ eties.