X – Stabilit´ e des solutions et points singuliers
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∗ λ 1 , λ 2 de mˆ eme signe et, disons, |λ 1 | < |λ 2 |. On a alors λ 2 /λ 1 > 1. On dit qu’on
a affaire ` a un nœud impropre :
x
y
x
y
0 < λ 1 < λ 2
nœud impropre instable
λ 2 < λ 1 < 0
nœud impropre stable
∗ λ 1 , λ 2 de signes oppos´ es, par exemple λ 1 < 0 < λ 2 . Il s’agit d’un col (toujours
instable) :
x
y
• Les valeurs propres sont confondues : λ 1 = λ 2 = λ. Deux cas sont possibles :
∗ A est diagonalisable. Alors A est en fait diagonale et les courbes int´ egrales sont
donn´ ees par
x(t) = x 0 e
λt
y(t) = y 0 e
λt ,
ce sont les droites y = αx et x = 0. On dit qu’on a affaire `
a un nœud propre :
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∗ λ 1 , λ 2 de mˆ eme signe et, disons, |λ 1 | < |λ 2 |. On a alors λ 2 /λ 1 > 1. On dit qu’on
a affaire ` a un nœud impropre :
x
y
x
y
0 < λ 1 < λ 2
nœud impropre instable
λ 2 < λ 1 < 0
nœud impropre stable
∗ λ 1 , λ 2 de signes oppos´ es, par exemple λ 1 < 0 < λ 2 . Il s’agit d’un col (toujours
instable) :
x
y
• Les valeurs propres sont confondues : λ 1 = λ 2 = λ. Deux cas sont possibles :
∗ A est diagonalisable. Alors A est en fait diagonale et les courbes int´ egrales sont
donn´ ees par
x(t) = x 0 e
λt
y(t) = y 0 e
λt ,
ce sont les droites y = αx et x = 0. On dit qu’on a affaire `
a un nœud propre :