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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ efinition – On dira qu’un point singulier M 0 est non d´ eg´ en´ er´ e si
det
f
x (x 0 , y 0 ) f
y (x 0 , y 0 )
g
x (x 0 , y 0 ) g
y (x 0 , y 0 )
= 0.
Nous nous proposons maintenant d’´ etudier les diff´ erentes configurations possibles
pour un point singulier non d´ eg´ en´ er´ e. On verra au chapitre XI, § 2.3 que les courbes
int´ egrales ont tendance ` a ressembler ` a celles du syst` eme lin´ eaire dM/dt = AM
lorsqu’on se rapproche du point critique, tout au moins sur un intervalle de temps
[t 0 , t 1 ] fix´ e ; ceci n’est pas n´ ecessairement vrai sur tout l’intervalle [t 0 , +∞[ (voir
§ 2.3 pour des exemples). On se restreindra dans un premier temps au cas lin´ eaire.
¾º¾º × ³ÙÒ ÑÔ ÐÐÒ ÖÖ ÚÚÚØØÙÖ×
Consid´ erons le syst` eme
dM
dt
= AM,
dx
dt
= ax + by
dy
dt
= cx + dy
o` u A =
a b
c d
.
On supposera det A = 0, de sorte que le champ de vecteurs
− →
V (M ) = AM admet
l’origine pour seul point critique. Comme le champ des tangentes est invariant par
les homoth´ eties de centre O, les courbes int´ egrales se d´ eduisent les unes des autres
par homoth´ eties. Distinguons maintenant plusieurs cas en fonction des valeurs
propres de A.
(a) Les valeurs propres λ 1 , λ 2 de A sont r´ eelles.
• Supposons de plus λ 1 = λ 2 . Dans ce cas la matrice A est diagonalisable. Apr` es
changement de base on peut supposer
A =
λ 1 0
0 λ 2
et le syst` eme se r´ eduit `
a
dx
dt
= λ 1 x
dy
dt
= λ 2 y.
La solution du probl` eme de Cauchy avec M (0) = (x 0 , y 0 ) est donc
x(t) = x 0 e
λ1t
y(t) = y 0 e
λ2t
de sorte que les courbes int´ egrales sont les courbes
y = C|x|
λ2/λ1 , C ∈ R
et la droite d’´ equation x = 0. Distinguons deux sous-cas :
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ efinition – On dira qu’un point singulier M 0 est non d´ eg´ en´ er´ e si
det
f
x (x 0 , y 0 ) f
y (x 0 , y 0 )
g
x (x 0 , y 0 ) g
y (x 0 , y 0 )
= 0.
Nous nous proposons maintenant d’´ etudier les diff´ erentes configurations possibles
pour un point singulier non d´ eg´ en´ er´ e. On verra au chapitre XI, § 2.3 que les courbes
int´ egrales ont tendance ` a ressembler ` a celles du syst` eme lin´ eaire dM/dt = AM
lorsqu’on se rapproche du point critique, tout au moins sur un intervalle de temps
[t 0 , t 1 ] fix´ e ; ceci n’est pas n´ ecessairement vrai sur tout l’intervalle [t 0 , +∞[ (voir
§ 2.3 pour des exemples). On se restreindra dans un premier temps au cas lin´ eaire.
¾º¾º × ³ÙÒ ÑÔ ÐÐÒ ÖÖ ÚÚÚØØÙÖ×
Consid´ erons le syst` eme
dM
dt
= AM,
dx
dt
= ax + by
dy
dt
= cx + dy
o` u A =
a b
c d
.
On supposera det A = 0, de sorte que le champ de vecteurs
− →
V (M ) = AM admet
l’origine pour seul point critique. Comme le champ des tangentes est invariant par
les homoth´ eties de centre O, les courbes int´ egrales se d´ eduisent les unes des autres
par homoth´ eties. Distinguons maintenant plusieurs cas en fonction des valeurs
propres de A.
(a) Les valeurs propres λ 1 , λ 2 de A sont r´ eelles.
• Supposons de plus λ 1 = λ 2 . Dans ce cas la matrice A est diagonalisable. Apr` es
changement de base on peut supposer
A =
λ 1 0
0 λ 2
et le syst` eme se r´ eduit `
a
dx
dt
= λ 1 x
dy
dt
= λ 2 y.
La solution du probl` eme de Cauchy avec M (0) = (x 0 , y 0 ) est donc
x(t) = x 0 e
λ1t
y(t) = y 0 e
λ2t
de sorte que les courbes int´ egrales sont les courbes
y = C|x|
λ2/λ1 , C ∈ R
et la droite d’´ equation x = 0. Distinguons deux sous-cas :