X – Stabilit´ e des solutions et points singuliers
289
avec G(0, 0) = G
x (0, 0) = G
y (0, 0) = 0. La fonction continue
k(r) = sup
M ∈B(0,r)
|||G
(M )|||
tend vers 0 quand r tend vers 0 et le th´ eor` eme des accroissements finis donne
G(M 1 ) − G(M 2 ) ≤ k(r)
− −−− →
M 1 M 2
pour tous M 1 , M 2 ∈ B(0, r). L’hypoth` ese (b) du th´ eor` eme du § 1.3 est donc
satisfaite. Dire que le point M 0 est asymptotiquement stable signifie que les lignes
int´ egrales issues d’un point M 1 voisin de M 0 convergent toutes vers M 0 (` a peu pr` es
uniform´ ement ` a la mˆ eme vitesse) quand le temps tend vers +∞. On peut donc
´ enoncer :
Proposition – Pour qu’un point singulier M 0 = (x 0 , y 0 ) soit asymptotiquement
stable, il suffit que les valeurs propres de la matrice jacobienne
A =
f
x (x 0 , y 0 ) f
y (x 0 , y 0 )
g
x (x 0 , y 0 ) g
y (x 0 , y 0 )
soient de partie r´ eelle < 0.
Remarque – Contrairement au cas d’un syst` eme lin´ eaire, on ne peut pas d´ ecider
de la nature du point critique si la matrice jacobienne a une valeur propre de partie
r´ eelle nulle. Consid´ erons par exemple le syst` eme
dx
dt
= αx
3
dy
dt
= βy
3
t ∈ [t 0 , +∞[ = [0, +∞[,
qui admet l’origine comme point critique avec matrice jacobienne A = 0. On voit
facilement que la solution du probl` eme de Cauchy est
x(t) = x 0 (1 − 2αx
2
0 t)
−1/2 , y(t) = y 0 (1 − 2 βy
2
0 t)
−1/2 .
Par cons´ equent l’origine est un point asymptotiquement stable si α < 0 et β < 0,
instable d` es que α > 0 ou β > 0. Dans ce dernier cas, les solutions ne sont en
fait mˆ eme pas globalement d´ efinies : lorsque α > 0, β ≤ 0 et x 0 = 0, la solution
maximale n’est d´ efinie que pour t ∈ [0, 1/(2 αx
2
0 )[.
Si la matrice jacobienne est inversible (valeurs propres = 0), le th´ eor` eme d’inversion
locale montre que la fonction M →
− →
V (M ) d´ efinit une bijection d’un voisinage de
M 0 sur un voisinage de 0 ; en particulier, pour M assez voisin et distinct de M 0 on
aura
− →
V (M ) =
− →
0 , de sorte que M 0 est un point singulier isol´ e. Ce n’est pas toujours
le cas si la matrice est d´ eg´ en´ er´ ee : le champ
− →
V (x, y) = (x, 0) admet par exemple
toute une droite x = 0 de points singuliers. On exclura en g´ en´ eral ces situations
qui peuvent ˆ etre extrˆ emement compliqu´ ees.
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avec G(0, 0) = G
x (0, 0) = G
y (0, 0) = 0. La fonction continue
k(r) = sup
M ∈B(0,r)
|||G
(M )|||
tend vers 0 quand r tend vers 0 et le th´ eor` eme des accroissements finis donne
G(M 1 ) − G(M 2 ) ≤ k(r)
− −−− →
M 1 M 2
pour tous M 1 , M 2 ∈ B(0, r). L’hypoth` ese (b) du th´ eor` eme du § 1.3 est donc
satisfaite. Dire que le point M 0 est asymptotiquement stable signifie que les lignes
int´ egrales issues d’un point M 1 voisin de M 0 convergent toutes vers M 0 (` a peu pr` es
uniform´ ement ` a la mˆ eme vitesse) quand le temps tend vers +∞. On peut donc
´ enoncer :
Proposition – Pour qu’un point singulier M 0 = (x 0 , y 0 ) soit asymptotiquement
stable, il suffit que les valeurs propres de la matrice jacobienne
A =
f
x (x 0 , y 0 ) f
y (x 0 , y 0 )
g
x (x 0 , y 0 ) g
y (x 0 , y 0 )
soient de partie r´ eelle < 0.
Remarque – Contrairement au cas d’un syst` eme lin´ eaire, on ne peut pas d´ ecider
de la nature du point critique si la matrice jacobienne a une valeur propre de partie
r´ eelle nulle. Consid´ erons par exemple le syst` eme
dx
dt
= αx
3
dy
dt
= βy
3
t ∈ [t 0 , +∞[ = [0, +∞[,
qui admet l’origine comme point critique avec matrice jacobienne A = 0. On voit
facilement que la solution du probl` eme de Cauchy est
x(t) = x 0 (1 − 2αx
2
0 t)
−1/2 , y(t) = y 0 (1 − 2 βy
2
0 t)
−1/2 .
Par cons´ equent l’origine est un point asymptotiquement stable si α < 0 et β < 0,
instable d` es que α > 0 ou β > 0. Dans ce dernier cas, les solutions ne sont en
fait mˆ eme pas globalement d´ efinies : lorsque α > 0, β ≤ 0 et x 0 = 0, la solution
maximale n’est d´ efinie que pour t ∈ [0, 1/(2 αx
2
0 )[.
Si la matrice jacobienne est inversible (valeurs propres = 0), le th´ eor` eme d’inversion
locale montre que la fonction M →
− →
V (M ) d´ efinit une bijection d’un voisinage de
M 0 sur un voisinage de 0 ; en particulier, pour M assez voisin et distinct de M 0 on
aura
− →
V (M ) =
− →
0 , de sorte que M 0 est un point singulier isol´ e. Ce n’est pas toujours
le cas si la matrice est d´ eg´ en´ er´ ee : le champ
− →
V (x, y) = (x, 0) admet par exemple
toute une droite x = 0 de points singuliers. On exclura en g´ en´ eral ces situations
qui peuvent ˆ etre extrˆ emement compliqu´ ees.