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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
M
M 0
− →
V (M )
− →
V (M 0 )
Deuxi` eme cas :
− →
V (M 0 ) =
− →
0 . On voit alors facilement sur des exemples qu’il y
a plusieurs configurations possibles pour le champ des tangentes :
− →
V
x
y
=
x
y
− →
V
x
y
=
x
−y
− →
V
x
y
=
−y
x
Si
− →
V (M 0 ) =
− →
0 , on dit que M 0 est un point singulier (ou point critique) du champ
de vecteurs. Un tel point donne ´ evidemment une solution constante M (t) = M 0 de
(E). Pour ´ etudier les solutions voisines, on supposera apr` es translation ´ eventuelle
de l’origine des coordonn´ ees que M 0 = 0. On a alors f (0, 0) = g(0, 0) = 0, de sorte
que le syst` eme diff´ erentiel peut s’´ ecrire

  
  
dx
dt
= f (x, y) = ax + by + o(|x| + |y|)
dy
dt
= g(x, y) = cx + dy + o(|x| + |y|).
Introduisons la matrice
A =
a b
c d
=
f
x (0, 0) f
y (0, 0)
g
x (0, 0) g
y (0, 0)
.
Le syst` eme diff´ erentiel consid´ er´ e s’´ ecrit maintenant
dM
dt
= AM + G(M )