X – Stabilit´ e des solutions et points singuliers
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Comme lim
r→0
k(r) = 0, on peut choisir r 1 < r 0 tel que k(r 1 ) < α, c’est-` a-dire
α − k(r 1 ) > 0. L’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente montre alors que pour Z ∈ B(0, r 1 ) la solution
maximale Y (t, Z) contenue dans la boule ouverte B(0, r 1 ) v´ erifie les in´ egalit´ es
Y (t, Z) ≤ ≤Z < r 1 . Cette solution maximale est n´ ecessairement d´ efinie
globalement sur [t 0 , +∞[. Sinon l’intervalle maximal serait un intervalle born´ e
[t 0 , t 1 [, n´ ecessairement ouvert ` a droite d’apr` es les r´ esultats de V 2.4. Comme la
d´ eriv´ ee de t → Y (t, Z) est major´ ee par
AY + g(t, Y ) ≤ (|||A||| + k(r 1 ))Y ≤ M
avec M = (|||A||| + k(r 1 ))r 1 , la fonction Y (t, Z) v´ erifierait le crit` ere de Cauchy
lim
t,t →t1−0
Y (t, Z) − Y (t
, Z) = 0.
Elle aurait donc une limite Y 1 = lim
t→t1−0
Y (t, Z) avec Y 1 ≤ ≤Z < r 1 et se
prolongerait sur un voisinage `
a droite de t 1 en une solution enti` erement contenue
dans B(0, r 1 ), contradiction. Quitte `
a diminuer encore un peu r 1 , on voit que toute
solution Y (t, Z) avec Z ∈ B(0, r 1 ) est globale et enti` erement contenue dans B(0, r 1 ).
Par cons´ equent (∗) est satisfaite pour tous t ∈ [t 0 , +∞[ et Z, Z 0 ∈ B(0, r 1 ) avec la
constante α − k(r 1 ) > 0, ce qui d´ emontre le th´ eor` eme.
¾º ÈÓÓÒØ× ××ÒÒÙÐÐÐÖ× ³ÙÒ ÑÔ ÚÚÚØØÙÖ×
¾º½º ÈÓ××ØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐ ÑÑ
On suppose donn´ e un champ de vecteurs de classe C
1 dans un ouvert Ω ⊂ R
2 ,
c’est-` a-dire une application
Ω → R
2 ,
M =
x
y
→
− →
V (M ) =
f (x, y)
g(x, y)
o` u f, g sont de classe C
1 sur Ω. On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel associ´ e
− − →
dM
dt
=
− →
V (M ) ⇐⇒
x
(t) = f (x(t), y(t))
y
(t) = g(x(t), y(t))
.
Grˆ ace au th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz, on sait que par tout point il passe une
courbe int´ egrale unique. Un probl` eme g´ eom´ etrique int´ eressant est de d´ ecrire l’allure
de la famille des courbes int´ egrales passant au voisinage d’un point M 0 donn´ e.
Premier cas :
− →
V (M 0 ) =
− →
0 . Dans ce cas, l’angle entre
− →
V (M ) et
− →
V (M 0 ) tend
vers 0 quand M tend vers 0. Par cons´ equent, les tangentes aux lignes int´ egrables
sont sensiblement parall` eles les unes aux autres dans un petit voisinage de M 0 . Un
tel point M 0 est dit r´ egulier :
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Comme lim
r→0
k(r) = 0, on peut choisir r 1 < r 0 tel que k(r 1 ) < α, c’est-` a-dire
α − k(r 1 ) > 0. L’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente montre alors que pour Z ∈ B(0, r 1 ) la solution
maximale Y (t, Z) contenue dans la boule ouverte B(0, r 1 ) v´ erifie les in´ egalit´ es
Y (t, Z) ≤ ≤Z < r 1 . Cette solution maximale est n´ ecessairement d´ efinie
globalement sur [t 0 , +∞[. Sinon l’intervalle maximal serait un intervalle born´ e
[t 0 , t 1 [, n´ ecessairement ouvert ` a droite d’apr` es les r´ esultats de V 2.4. Comme la
d´ eriv´ ee de t → Y (t, Z) est major´ ee par
AY + g(t, Y ) ≤ (|||A||| + k(r 1 ))Y ≤ M
avec M = (|||A||| + k(r 1 ))r 1 , la fonction Y (t, Z) v´ erifierait le crit` ere de Cauchy
lim
t,t →t1−0
Y (t, Z) − Y (t
, Z) = 0.
Elle aurait donc une limite Y 1 = lim
t→t1−0
Y (t, Z) avec Y 1 ≤ ≤Z < r 1 et se
prolongerait sur un voisinage `
a droite de t 1 en une solution enti` erement contenue
dans B(0, r 1 ), contradiction. Quitte `
a diminuer encore un peu r 1 , on voit que toute
solution Y (t, Z) avec Z ∈ B(0, r 1 ) est globale et enti` erement contenue dans B(0, r 1 ).
Par cons´ equent (∗) est satisfaite pour tous t ∈ [t 0 , +∞[ et Z, Z 0 ∈ B(0, r 1 ) avec la
constante α − k(r 1 ) > 0, ce qui d´ emontre le th´ eor` eme.
¾º ÈÓÓÒØ× ××ÒÒÙÐÐÐÖ× ³ÙÒ ÑÔ ÚÚÚØØÙÖ×
¾º½º ÈÓ××ØØÓÒ Ù ÔÖÓÓÐ ÑÑ
On suppose donn´ e un champ de vecteurs de classe C
1 dans un ouvert Ω ⊂ R
2 ,
c’est-` a-dire une application
Ω → R
2 ,
M =
x
y
→
− →
V (M ) =
f (x, y)
g(x, y)
o` u f, g sont de classe C
1 sur Ω. On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel associ´ e
− − →
dM
dt
=
− →
V (M ) ⇐⇒
x
(t) = f (x(t), y(t))
y
(t) = g(x(t), y(t))
.
Grˆ ace au th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz, on sait que par tout point il passe une
courbe int´ egrale unique. Un probl` eme g´ eom´ etrique int´ eressant est de d´ ecrire l’allure
de la famille des courbes int´ egrales passant au voisinage d’un point M 0 donn´ e.
Premier cas :
− →
V (M 0 ) =
− →
0 . Dans ce cas, l’angle entre
− →
V (M ) et
− →
V (M 0 ) tend
vers 0 quand M tend vers 0. Par cons´ equent, les tangentes aux lignes int´ egrables
sont sensiblement parall` eles les unes aux autres dans un petit voisinage de M 0 . Un
tel point M 0 est dit r´ egulier :