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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Comme Re(λ j ) < 0 par hypoth` ese et |a ij | ≤ ε, il y a un choix de ε tel que
Re(
t ∆(t)A∆(t)) ≤ −α
m
j=1
|δ j (t)|
2 = −αρ(t)
avec α > 0. On obtient alors
ρ
(t) ≤ −2αρ(t) + 2k(t)ρ(t),
ρ
(t)
ρ(t)
≤ −2α + 2k(t),
ln
ρ(t)
ρ(t 0 )
≤ −2
t
t0
(α − k(u))du,
ρ(t) ≤ ≤Z − Z 0
2 exp
− 2
t
t0
(α − k(u))du
car ρ(t 0 ) = Z − Z 0
2 . On notera que ρ(t) = ∆(t)
2 ne peut s’annuler que si les
deux solutions co¨ ıncident identiquement. En prenant la racine carr´ ee, on obtient
Y (t, Z) − Y (t, Z 0 ) ≤ γ(t)Z − Z 0
avec
γ(t) = exp
−
t
t0
(α − k(u))du
.
Comme lim
u→+∞
(α − k(u)) = α > 0, l’int´ egrale diverge vers +∞ et lim
t→+∞
γ(t) = 0.
Les solutions sont donc bien asymptotiquement stables.
(b) Ce cas est un peu plus d´ elicat car on ne sait pas a priori si toutes les solutions
sont globales ; elles ne le seront d’ailleurs pas en g´ en´ eral si Z 0 ∈ B(0, r 0 ), vu
que les hypoth` eses ne concernent que ce qui se passe pour Y ∈ B(0, r 0 ). Comme
g(t, 0) = 0, on a toutefois la solution globale Y (t) = 0, c’est-` a-dire que Y (t, 0) = 0
pour t ∈ [t 0 , +∞[. De plus on a
g(t, Y (t, Z)) − g(t, Y (t, Z 0 )) ≤ k(r)∆(t),
` a condition de supposer que t → Y (t, Z) et t → Y (t, Z 0 ) prennent toutes leurs
valeurs dans B(0, r) ⊂ B(0, r 0 ). Sous cette hypoth` ese, les mˆ emes calculs que
pr´ ec´ edemment donnent
ρ(t) ≤ ≤Z − Z 0
2 exp
− 2
t
t0
(α − k(r)du
,
Y (t, Z) − Y (t, Z 0 ) ≤ exp
− (t − t 0 )(α − k(r)
Z − Z 0 ,
(∗)
et en particulier pour Z 0 = 0 :
Y (t, Z) ≤ exp
− (t − t 0 )(α − kr)
Z.