X – Stabilit´ e des solutions et points singuliers
297
D´ eterminer les points critiques du champ de vecteurs
− →
V . Calculer les solutions
t →
M (t) = ( x(t),
y(t)) du syst` eme diff´ erentiel obtenu en lin´ earisant
− →
V au voisinage
de chacun des points critiques. Faire un sch´ ema indiquant l’allure des solutions au
voisinage des points critiques. Ces points sont-ils stables ?
3.3. Mˆ emes questions pour le champ de vecteurs
− →
V (x, y) = (−1 + x
2 + y
2 , −x).
3.4. On consid` ere le champ de vecteurs d´ efini par
− →
V
x
y
=
−y + x sin
π
x 2 +y 2
exp
−
1
x 2 +y 2
x + y sin
π
x 2 +y 2
exp
−
1
x 2 +y 2
pour (x, y) = (0, 0), et par
− →
V (0, 0) =
− →
0 .
(a) Montrer que le champ
− →
V est de classe C
∞ sur R
2 ; on pourra commencer par
montrer que la fonction
t → sin (π/t) exp (−1/t), t > 0,
se prolonge en une fonction de classe C
∞ sur [0, +∞[.
(b) Montrer que le syst` eme diff´ erentiel dM/dt =
− →
V (M ) se ram` ene ` a une ´ equation
de la forme dr/dθ = f (r) ; on ne cherchera pas ` a r´ esoudre explicitement cette
´ equation. En d´ eduire qu’il y a une infinit´ e de cercles concentriques (C k ) k≥1 de
rayons R k d´ ecroissant vers 0, qui sont des courbes int´ egrales du champ.
(c) ´
Etudier la convergence des int´ egrales
R k
R k+1
dr/f (r) en chacune des bornes.
Montrer que la courbe int´ egrale issue d’un point de coordonn´ ees polaires (r 0 , θ 0 )
telles que R k+1 < r 0 < R k est une spirale admettant les cercles r = R k et
r = R k+1 comme asymptotes. ´
Etudier de mˆ eme le comportement ` a l’infini des
courbes int´ egrales.
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D´ eterminer les points critiques du champ de vecteurs
− →
V . Calculer les solutions
t →
M (t) = ( x(t),
y(t)) du syst` eme diff´ erentiel obtenu en lin´ earisant
− →
V au voisinage
de chacun des points critiques. Faire un sch´ ema indiquant l’allure des solutions au
voisinage des points critiques. Ces points sont-ils stables ?
3.3. Mˆ emes questions pour le champ de vecteurs
− →
V (x, y) = (−1 + x
2 + y
2 , −x).
3.4. On consid` ere le champ de vecteurs d´ efini par
− →
V
x
y
=
−y + x sin
π
x 2 +y 2
exp
−
1
x 2 +y 2
x + y sin
π
x 2 +y 2
exp
−
1
x 2 +y 2
pour (x, y) = (0, 0), et par
− →
V (0, 0) =
− →
0 .
(a) Montrer que le champ
− →
V est de classe C
∞ sur R
2 ; on pourra commencer par
montrer que la fonction
t → sin (π/t) exp (−1/t), t > 0,
se prolonge en une fonction de classe C
∞ sur [0, +∞[.
(b) Montrer que le syst` eme diff´ erentiel dM/dt =
− →
V (M ) se ram` ene ` a une ´ equation
de la forme dr/dθ = f (r) ; on ne cherchera pas ` a r´ esoudre explicitement cette
´ equation. En d´ eduire qu’il y a une infinit´ e de cercles concentriques (C k ) k≥1 de
rayons R k d´ ecroissant vers 0, qui sont des courbes int´ egrales du champ.
(c) ´
Etudier la convergence des int´ egrales
R k
R k+1
dr/f (r) en chacune des bornes.
Montrer que la courbe int´ egrale issue d’un point de coordonn´ ees polaires (r 0 , θ 0 )
telles que R k+1 < r 0 < R k est une spirale admettant les cercles r = R k et
r = R k+1 comme asymptotes. ´
Etudier de mˆ eme le comportement ` a l’infini des
courbes int´ egrales.